Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 383
Каждый день Фрёкен Бок испекает квадратный торт размером $3\times 3$. Карлсон немедленно вырезает себе из него четыре квадратных куска размером $1\times 1$ со сторонами, параллельными сторонам торта (не обязательно по линиям сетки $3\times 3$). После этого Малыш вырезает себе из оставшейся части торта квадратный кусок со сторонами, также параллельными сторонам торта. На какой наибольший кусок торта может рассчитывать Малыш вне зависимости от действий Карлсона?
Ответ:
Решение:
Петя и Вася играют в следующую игру. Сначала они пишут по единице, каждый на своей доске. Далее они по очереди (начинает Петя) заменяют каждый своё число, умножая его либо на 2, либо на 3, причём после каждого хода числа, записанные на досках, должны быть различными. Пусть $a$ — количество натуральных делителей числа Пети после его 100-го хода, а $b$ — количество натуральных делителей числа Васи после его 100-го хода. По итогам игры Петя получает $|a-b|$ фантиков. При каком наибольшем натуральном $n$ Петя может действовать так, чтобы гарантированно получить не менее $n$ фантиков вне зависимости от действий Васи?
Ответ:
Решение:
Дано целое число $n\gt 1$. Двое игроков по очереди отмечают точки на окружности: первый — красным цветом, второй — синим (отмечать одну и ту же точку дважды нельзя). Когда отмечено по $n$ точек каждого цвета, игра заканчивается. После этого каждый игрок находит на окружности дугу наибольшей длины с концами своего цвета, на которой больше нет отмеченных точек. Игрок, у которого найденная длина больше, выиграл (в случае равенства длин дуг, а также при отсутствии таких дуг у обоих игроков — ничья). Может ли один из игроков обеспечить себе победу?
Ответ:
Решение:
Две фирмы по очереди нанимают программистов, среди которых есть $4$ гения. Первого программиста каждая фирма выбирает произвольно, а каждый следующий должен быть знаком с кем-то из ранее нанятых данной фирмой. Если фирма не может нанять программиста по этим правилам, она прекращает приём, а другая может продолжать. Список программистов и их знакомств заранее известен. Могут ли знакомства быть устроены так, что фирма, вступающая в игру второй, сможет нанять по крайней мере $3$ гениев, как бы ни действовала первая фирма?
Ответ:
Решение:
Дан треугольник, у которого нет равных углов. Петя и Вася играют в такую игру: за один ход Петя отмечает точку на плоскости, а Вася красит её по своему выбору в красный или синий цвет. Петя выиграет, если какие-то три из отмеченных им и покрашенных Васей точек образуют одноцветный треугольник, подобный исходному. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть (каков бы ни был исходный треугольник)?
Ответ:
Решение:
Петя и Вася играют в игру. Для каждых пяти различных переменных из набора $x_1, \ldots, x_{10}$ имеется единственная карточка, на которой записано их произведение. Петя и Вася по очереди берут по карточке, начинает Петя. Когда все карточки разобраны, Вася присваивает переменным значения как хочет, но так, что $0\leqslant x_1\leqslant\ldots\leqslant x_{10}$. Может ли Вася гарантированно добиться того, чтобы сумма произведений на его карточках была больше, чем у Пети?
Ответ:
Решение:
В ряд лежат $100N$ бутербродов, каждый с колбасой и сыром. Дядя Фёдор и кот Матроскин играют в игру. Дядя Фёдор за одно действие съедает один бутерброд с одного из краёв. Кот Матроскин за одно действие может стянуть колбасу с одного бутерброда (а может ничего не делать). Дядя Фёдор каждый ход делает по 100 действий подряд, а кот Матроскин делает только 1 действие; дядя Фёдор ходит первым, кот Матроскин вторым, далее ходы чередуются до тех пор, пока дядя Фёдор не доест все бутерброды. Дядя Фёдор выигрывает, если последний съеденный им бутерброд был с колбасой. Верно ли, что при каждом натуральном $N$ он сможет выиграть независимо от ходов кота Матроскина?
Ответ:
Решение:
В турнире каждый участник встретился с каждым из остальных один раз. Каждую встречу судил один арбитр, и все арбитры судили разное количество встреч. Игрок Иванов утверждает, что все его встречи судили разные арбитры. То же самое утверждают о себе игроки Петров и Сидоров. Может ли быть, что никто из них не ошибается?
Ответ:
Решение:
В турнире по футболу участвует $2n$ команд ($n\gt 1$). В каждом туре команды разбиваются на $n$ пар и команды в каждой паре играют между собой. Так провели $2n-1$ тур, по окончании которых каждая команда сыграла с каждой ровно один раз. За победу давалось $3$ очка, за ничью — $1$, за поражение — $0$ очков. Оказалось, что для каждой команды отношение набранных ею очков к количеству сыгранных ею игр после последнего тура не изменилось. Докажите, что все команды сыграли вничью все партии.
Ответ:
Решение:
Волейбольный чемпионат с участием 16 команд проходил в один круг (каждая команда играла с каждой ровно один раз, ничьих в волейболе не бывает). Оказалось, что какие-то две команды одержали одинаковое число побед. Докажите, что найдутся три команды, которые выиграли друг у друга по кругу (то есть $A$ выиграла у $B$, $B$ выиграла у $C$, а $C$ выиграла у $A$).
Ответ:
Решение:
На собрание пришло $n$ человек ($n\gt 1$). Оказалось, что у любых двух из них есть среди собравшихся ровно два других общих знакомых.
а) Докажите, что каждый из них знаком с одинаковым числом людей на этом собрании.
б) Покажите, что $n$ может быть больше $4$.
а) Докажите, что каждый из них знаком с одинаковым числом людей на этом собрании.
б) Покажите, что $n$ может быть больше $4$.
Ответ:
Решение:
В шахматном турнире каждый участник встретился с каждым один раз. В каждом туре каждый участник проводил по одной встрече. Не меньше чем в половине всех встреч оба участника были земляками (из одного города). Докажите, что в каждом туре была хотя бы одна встреча между земляками.
Ответ:
Решение:
В некоторой стране есть 100 городов, которые связаны такой сетью дорог, что из любого города в любой другой можно проехать только одним способом без разворотов. Схема сети дорог известна, развилки и перекрестки сети необязательно являются городами, всякая тупиковая ветвь сети обязательно заканчивается городом. Навигатор может измерить длину пути по этой сети между любыми двумя городами. Можно ли за 100 таких измерений гарантированно определить длину всей сети дорог?
Ответ:
Решение:
В турнире по теннису (где не бывает ничьих) участвовало более 4 спортсменов. Каждый игровой день каждый теннисист принимал участие ровно в одной игре. К завершению турнира каждый сыграл с каждым в точности один раз. Назовём игрока упорным, если он выиграл хотя бы один матч и после первой своей победы ни разу не проигрывал. Остальных игроков назовём неупорными. Верно ли, что игровых дней, когда была встреча между неупорными игроками, больше половины?
Ответ:
Решение:
В Камелот съехались $100$ рыцарей Круглого Стола, любые два из которых либо дружат, либо враждуют (дружба и вражда взаимны). Фея Моргана может выбрать любого рыцаря и сделать так, что он поссорится со всеми своими друзьями и при этом подружится со всеми своими врагами. Накладывать это заклинание Моргана может сколько угодно раз. Докажите, что она сможет добиться того, чтобы в итоге образовались такие две группы по $5$ рыцарей, что каждый рыцарь из первой пятёрки будет враждовать с каждым рыцарем из второй.
Ответ:
Решение:
В классе, состоящем из $k\geqslant 5$ учеников (девочек и мальчиков), провели контрольную работу. Известно, что во время работы каждая пара школьников пообщалась и ровно один из учеников в этой паре помог другому. В результате оказалось, что для каждого ученика среди тех, кому он помог, поровну девочек и мальчиков. Сколько учеников могло быть в классе?
Ответ:
Решение:
На плоскости отметили $4n$ точек, после чего соединили отрезками все пары точек, расстояние между которыми равно $1$ см. Оказалось, что среди любых $n+1$ точек обязательно есть две, соединённые отрезком. Докажите, что всего проведено не менее $7n$ отрезков.
Ответ:
Решение:
Рассмотрим граф, у которого вершины соответствуют всевозможным трёхэлементным подмножествам множества $\{1, 2, 3, \ldots, 2^k\}$, а рёбра проводятся между вершинами, которые соответствуют подмножествам, пересекающимся ровно по одному элементу. Найдите минимальное количество цветов, в которые можно раскрасить вершины графа так, чтобы любые две вершины, соединённые ребром, были разного цвета.
Ответ:
Решение:
В королевстве некоторые пары городов соединены железной дорогой. У короля есть полный список, в котором поименно перечислены все такие пары (каждый город имеет свое собственное имя). Оказалось, что для любой упорядоченной пары городов принц может переименовать все города так, чтобы первый город оказался названным именем второго города, а король не заметил бы изменений. Верно ли, что для любой пары городов принц может переименовать все города так, чтобы первый город оказался названным именем второго города, второй город оказался названным именем первого города, а король не заметил бы изменений?
Ответ:
Решение:
У повара в подчинении десять поварят, некоторые из которых дружат между собой. Каждый рабочий день повар назначает одного или нескольких поварят на дежурство, а каждый из дежурных поварят уносит с работы по одному пирожному каждому своему недежурящему другу. В конце дня повар узнает количество пропавших пирожных. Сможет ли он за $45$ рабочих дней понять, кто из поварят дружит между собой, а кто нет?
Ответ:
Решение: