Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 306
Известно, что $P(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами, имеет целый отрицательный корень и $P(3)=-19$. Найти этот корень.
Ответ:
Решение:
Доказать, что для любого многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами выражение $P(b)-P(a)$ делится на $(b-a)$ при любых целых $a$, $b$, $a\neq b$. Известно, что уравнение $P(x)=8$ имеет целый корень на полуоси $x\geqslant 8$ и $P(4)=17$. Найти этот корень.
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами при $x=2$ принимает значение $3$, а при $x=4$ — его значение равно $1$. Известно, что уравнение $P(n)=n-1$ имеет целое решение. Найти это решение.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Члены последовательности $\{a_m\}_{m=1}^{\infty}$ определяются по правилу: для каждого натурального $m$ $a_{m+1}=a_m\cdot p_m$, где $p_m\gt 1$ — наименьшее простое число, не делящее $a_m$. Первый член последовательности $a_1=2$. Найти $m$, для которого $a_{m+2}-a_m=29820$.
Ответ:
Решение:
Натуральное число $a$ раскладывается в произведение трех различных простых делителей. Сумма всех его делителей, включая единицу и $a$, равна $72$. Найти число $a$.
Ответ:
Решение:
Для каждого натурального $n$ определим число $\varphi(n)$, равное количеству целых чисел $m$, $1\leqslant m\leqslant n$ взаимно простых с $n$. Найти $\varphi(1947)$.
Ответ:
Решение:
Для каждого натурального $n$ обозначим через $a(n)$ количество целых чисел $m\in[1;n]$ взаимно простых с $n$. Найти простое число $p$, для которого \[ a\left(p^2\right)+a\left(p^3\right)+a\left(p^4\right)+\ldots+a\left(p^{2025}\right)=3^{2025}-3. \]
Ответ:
Решение:
Елку на новогоднем вечере украсили $99$ лампочками по числу приглашенных на праздник гостей. У каждой лампочки имеется отдельный выключатель с двумя положениями (вкл/выкл) и номером от $1$ до $99$. Такие же номера нарисованы на костюмах каждого из гостей. Дед Мороз предложил всем математическую игру: все гости, по очереди, начиная с первого, подходят к выключателям с номерами кратными их собственному номеру и меняют их положение на противоположное. Так, гость с номером $1$ меняет положение всех выключателей, с номером $2$ — только четных и т. д. В начале игры все лампочки были включены. Сколько лампочек оказались включенными после окончания игры?
Ответ:
Решение:
Найти девять натуральных чисел, кратных шести, среди которых ни одно число не кратно другому, но куб каждого числа кратен квадрату любого из них.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Натуральное число $n\geqslant2024$ имеет простой делитель $p\gt 3$ и другой делитель $q$, связанный с $p$ соотношением $(p-1)(q+3)=n-3$. Найдите наименьшее возможное при этих условиях число $n$.
Ответ:
Решение:
Грабитель узнал, что код замка — четырехзначное число, содержащее в своей записи единицу, семерку и две пятерки. Ему не было известно, что замок открывается, если сумма всех положительных делителей кода достигает своего наибольшего возможного значения. Найти код, открывающий замок.
Ответ:
Решение:
На листе бумаги Ваня написал простое число $p$. Прибавив к $p$ его последнюю цифру, увеличенную на $1$, Петя получил новое число $q$. Известно, что если оно окажется простым, Петя получит приз и сможет повторить описанную процедуру еще раз и, возможно, снова получит приз и т. д. Какое наименьшее трехзначное простое число должен написать Ваня, чтобы Петя смог получить максимальное число призов.
Ответ:
Решение:
Найти наименьшее натуральное число, имеющее при делении на $3$, $5$ и $6$ в остатке $1$, а при делении на $11$ — остаток $5$.
Ответ:
Решение:
Целые числа $2a^2$ и $3a$ имеют одинаковые остатки при делении на 18. Какие ненулевые остатки может иметь число $a\gt 0$ при делении на 18?
Ответ:
Решение:
Рассматривается множество $M$ целых чисел $n\in[-20;100]$, для которых выражение \[ A=n^3+n^2-14n-24 \] делится на $7$. Сколько целых чисел содержится в $M$? Найти наибольшее и наименьшее из них.
Ответ:
Решение: