Поиск задач

В $2n$ бочках налито $2n$ различных реактивов (в каждой — один реактив). Они разбиваются на $n$ пар конфликтующих реактивов, но неизвестно, какая бочка конфликтует с какой. Инженеру нужно узнать это разбиение. У него есть $n$ пустых пробирок. За одно действие он может долить в любую пробирку (пустую или непустую) реактив из любой бочки, других действий с реактивами он делать не может. Пока в пробирке нет конфликтующих соединений, в ней ничего не происходит. Как только среди реактивов, содержащихся в ней, появляются конфликтующие, она лопается, и больше её использовать не получится. Выливать из пробирки ничего нельзя. Как инженеру добиться своей цели?

На доске написаны натуральные числа от 1 до 1000, по одному разу каждое. Вася может стереть любые два числа и записать вместо них одно: их наибольший общий делитель или их наименьшее общее кратное. Через 999 таких операций на доске осталось одно число, равное натуральной степени десятки. Какое наибольшее значение она может принимать?

Среди натуральных чисел $a_1$, $\ldots$, $a_k$ нет одинаковых, а разность между наибольшим и наименьшим из них меньше 1000. При каком наибольшем $k$ может случиться, что все квадратные уравнения $a_ix^2+2a_{i+1}x+a_{i+2}=0$, где $1\leqslant i\leqslant k-2$, не имеют корней?

В Тридевятом царстве 100 городов, и каждые два города соединены не более чем одной дорогой. Однажды царь приказал ввести на каждой дороге одностороннее движение, а заодно покрасить каждую дорогу в белый или черный цвет. Министр транспорта с гордостью сообщил, что после выполнения приказа из любого города в любой другой можно добраться по дорогам, чередуя их цвета, причем так, что первая дорога в пути будет белой. Какое наименьшее количество дорог могло быть в этой стране? Добираясь из города в город, можно проезжать через промежуточные города любое число раз.

Точка $N$ — середина стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$, а точка $M$ на стороне $AB$ такова, что $CM\perp BD$. Докажите, что если $BM\gt MA$, то $2BC+AD\gt 2CN$.

Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BC=CD=4$. На сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $K$ и $L$ соответственно таким образом, что $AK=DL=1$. На стороне $AD$ снаружи четырёхугольника построен треугольник $AMD$, в котором $AM=MD=2$. Оказалось, что $KL=2$. Докажите, что $BM=CM$.

Маша взяла четыре различных положительных числа и записала шесть их попарных произведений в ряд в порядке возрастания. Могли ли все пять разностей между соседними числами этого ряда оказаться одинаковыми?

Дано натуральное число $k$, большее 1. Натуральное число $n$, большее 1 и взаимно простое с $k$, назовём правильным, если для любого натурального делителя $d$ ($d\lt n$) числа $n$ число $d+k$ не взаимно просто с $n$. Докажите, что правильных чисел — конечное количество.