Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 8
· весь вариант по порядку
В ряд выложено 100 монет. Внешне все монеты одинаковы, но где-то среди них лежат подряд 50 фальшивых (а остальные — настоящие). Все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые могут весить по-разному, но каждая фальшивая легче настоящей. Можно ли с помощью одного взвешивания на чашечных весах без гирь найти хотя бы 34 настоящие монеты?
Ответ:
Решение:
Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 записали по кругу в некотором порядке. Назовём записанное число хорошим, если оно равно сумме двух чисел, записанных рядом с ним. Каково наибольшее возможное количество хороших чисел среди записанных?
Ответ:
Решение:
В каждой клетке таблицы $100\times100$ записано одно из чисел 1 или $-1$. Могло ли оказаться, что ровно в 99 строках суммы чисел отрицательны, а ровно в 99 столбцах — положительны?
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ точка $M$ — середина основания $AD$. Известно, что $\angle ABD=90^\circ$ и $BC=CD$. На отрезке $BD$ выбрана точка $F$ такая, что $\angle BCF=90^\circ$. Докажите, что $MF\perp CD$.
Ответ:
Решение:
Точки $M$ и $N$ — середины биссектрис $AK$ и $CL$ треугольника $ABC$ соответственно. Докажите, что угол $ABC$ прямой тогда и только тогда, когда $\angle MBN=45^\circ$.
Ответ:
Решение:
Три спортсмена пробежали дистанцию в 3 километра. Первый километр они бежали с постоянными скоростями $v_1$, $v_2$ и $v_3$ соответственно, такими, что $v_1\gt v_2\gt v_3$. После отметки в 1 километр каждый из них изменил скорость: первый — с $v_1$ на $v_2$, второй — с $v_2$ на $v_3$, а третий — с $v_3$ на $v_1$. Кто из спортсменов пришел к финишу последним?
Ответ:
Решение:
Петя выбрал 10 последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на 2016?
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные числа, которые можно представить в виде \[\frac{xy+yz+zx}{x+y+z},\] где $x$, $y$ и $z$ — три различных натуральных числа.
Ответ:
Решение: