Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 10
· весь вариант по порядку
Петя и Вася по очереди выписывают на доску натуральные числа, не превосходящие 2018 (выписывать уже имеющееся число запрещено); начинает Петя. Если после хода игрока на доске оказываются три числа, образующих арифметическую прогрессию, — этот игрок выигрывает. У кого из игроков есть стратегия, позволяющая ему гарантированно выиграть?
Ответ:
Решение:
Дана клетчатая доска $1000\times1000$. Фигура гепард из произвольной клетки $x$ бьёт все клетки квадрата $19\times19$ с центральной клеткой $x$, за исключением клеток, находящихся с $x$ в одном столбце или одной строке. Какое наибольшее количество гепардов, не бьющих друг друга, можно расставить на доске?
Ответ:
Решение:
Разбейте какой-нибудь клетчатый квадрат на клетчатые квадратики так, чтобы не все квадратики были одинаковы, но квадратиков каждого размера было одно и то же количество.
Ответ:
Решение:
Из четырёх одинаковых треугольников сложен выпуклый четырёхугольник. Верно ли, что у этого четырёхугольника обязательно есть параллельные стороны?
Ответ:
Решение:
Положительные числа $x$, $y$ таковы, что $x^5-y^3\geqslant 2x$. Докажите, что $x^3\geqslant 2y$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle A=\angle C=30^\circ$. На его сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ выбраны точки $D$, $E$ и $F$ соответственно так, что $\angle BFD=\angle BFE=60^\circ$. Периметр треугольника $ABC$ равен $p$, а периметр треугольника $DEF$ равен $p_1$. Докажите, что $p\leqslant 2p_1$.
Ответ:
Решение:
Пусть $O$ — центр окружности $\Omega$, описанной около остроугольного треугольника $ABC$. На дуге $AC$ этой окружности, не содержащей точку $B$, взята точка $P$. На отрезке $BC$ выбрана точка $X$ так, что $PX\perp AC$. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника $BXP$, лежит на окружности, описанной около треугольника $ABO$.
Ответ:
Решение:
Петя выбрал натуральное число $n$ и выписал на доску следующие $n$ дробей: \[\frac{0}{n},\ \frac{1}{n-1},\ \frac{2}{n-2},\ \frac{3}{n-3},\ \ldots,\ \frac{n-1}{n-(n-1)}.\] Пусть число $n$ делится на натуральное число $d$. Докажите, что среди выписанных дробей найдётся дробь, равная числу $d-1$.
Ответ:
Решение:
Дано нечётное число $n\gt 10$. Найдите количество способов расставить по кругу в некотором порядке натуральные числа $1, 2, 3, \ldots, n$ так, чтобы каждое число являлось делителем суммы двух соседних с ним чисел. (Способы, отличающиеся поворотом или отражением, считаются одинаковыми.)
Ответ:
Решение:
Докажите, что найдётся такое натуральное число $n\gt 10^{2018}$, что сумма всех простых чисел, меньших $n$, взаимно проста с $n$.
Ответ:
Решение: