Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 8
· весь вариант по порядку
Дана клетчатая таблица $100\times100$, клетки которой покрашены в чёрный и белый цвета. При этом во всех столбцах поровну чёрных клеток, в то время как во всех строках разные количества чёрных клеток. Каково максимальное возможное количество пар соседних по стороне разноцветных клеток?
Ответ:
Решение:
По кругу стоят $n$ мальчиков и $n$ девочек. Назовём пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.
Ответ:
Решение:
На стороне $AB$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ взяты точки $K$ и $L$ (точка $K$ лежит между $A$ и $L$), а на стороне $CD$ взяты точки $M$ и $N$ (точка $M$ между $C$ и $N$). Известно, что $AK=KN=DN$ и $BL=BC=CM$. Докажите, что если $BCNK$ — вписанный четырёхугольник, то и $ADML$ тоже вписан.
Ответ:
Решение:
Внутри равнобокой трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ расположена окружность $\omega$ с центром $I$, касающаяся отрезков $AB$, $CD$ и $DA$. Описанная окружность треугольника $BIC$ вторично пересекает сторону $AB$ в точке $E$. Докажите, что прямая $CE$ касается окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
Петя выбрал 10 последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на 2016?
Ответ:
Решение:
Найдите все такие пары различных действительных чисел $x$ и $y$, что $x^{100}-y^{100}=2^{99}(x-y)$ и $x^{200}-y^{200}=2^{199}(x-y)$.
Ответ:
Решение:
Даны квадратные трёхчлены $f_1(x)$, $f_2(x)$, $\ldots$, $f_{100}(x)$ с одинаковыми коэффициентами при $x^2$, одинаковыми коэффициентами при $x$, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена $f_i(x)$ выбрали один корень и обозначили его через $x_i$. Какие значения может принимать сумма $f_2(x_1)+f_3(x_2)+\ldots+f_{100}(x_{99})+f_1(x_{100})$?
Ответ:
Решение:
Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество $A$, состоящее из действительных чисел, полным, если для любых действительных $a$ и $b$ (не обязательно различных и не обязательно лежащих в $A$), при которых $a+b$ лежит в $A$, число $ab$ также лежит в $A$. Найдите все полные множества действительных чисел.
Ответ:
Решение: