Поиск задач

Найти действительные решения системы уравнений \[\begin{cases} 3\sqrt[3]{x^2y^5}=4\left(y^2-x^2\right),\\ 5\sqrt[3]{x^4y}=x^2+y^2.\end{cases}\]

Решить уравнение \[\sin 3x\sqrt{\mathrm{ctg}\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)}=\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)-\cos\left(4x+\dfrac{\pi}{4}\right).\]

Для каждого значения параметра $a\in[0,\pi]$ найти максимальное значение $g(a)$ функции \[f(x,y)=x(x+2)+y(y-4)\] на множестве точек $(x,y)$ таких, что $x^2+y^2\leqslant2(x\cos a+y\sin a)$. Найти значения параметра $a\in[0,\pi]$, при которых $g(a)$ принимает наименьшее значение.

Треугольник $ABC$ вписан в окружность $O$ радиуса $R$, точки $K$, $L$ и $M$ — середины отрезков $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Окружности $O_1$, $O_2$ и $O_3$ проведены через точки $K$, $L$ и $M$ соответственно, касаются окружности $O$ и каждая имеет с треугольником $ABC$ единственную общую точку. Найти радиус окружности $O_3$, если радиусы окружностей $O_1$ и $O_2$ равны $\frac13R$ и $\frac14R$ соответственно.

В треугольной пирамиде $ABCD$ сфера касается граней $ACD$ и $BCD$ в точках $B_1$ и $A_1$, являющихся основаниями высот пирамиды, и пересекает ребро $AB$ в точках $K$ и $L$. Известно, что $AB=\sqrt{10}$, $KL=\sqrt{\dfrac{10}{3}}$, $BC=\sqrt{\dfrac{35}{2}}$, $AD=5$. Найти расстояние между рёбрами $AB$ и $CD$, радиус окружности, высекаемой на сфере плоскостью $ABC$, и объём пирамиды $ABCD$.

Решить неравенство \[\dfrac{2}{\log_{1+x}\left(6+4x-2x^2\right)}\leqslant\dfrac{1}{2-\log_{6-2x}(1+x)}.\]