Поиск задач

В каждой клетке квадратной таблицы написано по действительному числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма $k$ наибольших чисел равна $a$, а в каждом столбце таблицы сумма $k$ наибольших чисел равна $b$.
1) Докажите, что если $k=2$, то $a=b$.
2) В случае $k=3$ приведите пример такой таблицы, для которой $a\neq b$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ на основании $BC$ взята точка $D$, а на боковой стороне $AB$ — точки $E$ и $M$ так, что $AM=ME$ и отрезок $DM$ параллелен стороне $AC$. Докажите, что $AD+DE\gt AB+BE$.

Сравните между собой наименьшие положительные корни многочленов $x^{2011}+2011x-1$ и $x^{2011}-2011x+1$.

Продавец хочет разрезать кусок сыра на части, которые можно будет разложить на две кучки равного веса. Он умеет разрезать любой кусок сыра в одном и том же отношении $a:(1-a)$ по весу, где $0\lt a\lt 1$. Верно ли, что на любом промежутке длины $0{,}001$ из интервала $(0;1)$ найдётся значение $a$, при котором он сможет добиться желаемого результата с помощью конечного числа разрезов?

Рассматриваются ортогональные проекции данного правильного тетраэдра с единичным ребром на всевозможные плоскости. Какое наибольшее значение может принимать радиус круга, содержащегося в такой проекции?

Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии?