Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 10
· весь вариант по порядку
В каждую клетку доски $21\times 13$ клеток поставили либо чёрную, либо белую шашку. Оказалось, что в любых двух соседних по стороне клетках стоит хотя бы одна чёрная шашка. Какое наименьшее количество чёрных шашек может стоять на доске?
Ответ:
Решение:
На урок физкультуры пришли $8$ учеников. Сколькими способами учитель может расставить их в шеренгу так, чтобы Петя стоял левее Васи, а Вася — левее Толи? Между этими троими ребятами могут стоять и другие ученики.
Ответ:
Решение:
У Васи есть пять карточек, на которых написаны цифры $9, 7, 3, 1, 0$ (на каждой карточке написана ровно одна цифра). Он составил из них всевозможные пятизначные числа, а потом нашел среднее арифметическое этих чисел. Какой результат он получил? Ответ округлите до целого числа.
Ответ:
Решение:
За круглый стол сели $50$ мудрецов. Каждый из них взял карточку и записал на ней целое ненулевое число. Оказалось, что у каждого мудреца число на карточке больше произведения чисел на карточках двух ближайших мудрецов, сидящих справа от него. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть выписано на карточках мудрецов?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число такое, что если из него вычесть сумму его цифр, то получится число $12\,357$.
Ответ:
Решение:
Множество $M$ состоит из всех таких чисел $t$, для каждого из которых числа \[ t+\frac{1}{t}\quad\text{и}\quad t^2-4t \] являются целыми. Найдите сумму квадратов элементов множества $M$.
Ответ:
Решение:
Сколько существует квадратных трехчленов вида \[ x^2+ax+b \] с действительными корнями, у которых коэффициенты $a$, $b$ — натуральные числа такие, что $ab=2^{465}$?
Ответ:
Решение:
На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $D$ такая, что площадь треугольника $BCD$ равна $4$, а площадь треугольника $ACD$ равна $1$. В треугольнике $ACD$ проведена высота $DH$. Найдите площадь четырёхугольника $BCHD$.
Ответ:
Решение:
Точки $E, F, G, H$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ соответственно, а точки $J$, $K$ — середины его диагоналей $BD$ и $AC$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $J$ параллельно $AC$, и прямая, проходящая через точку $K$ параллельно $BD$, пересекаются в точке $N$. Найдите площадь четырёхугольника $AHNE$, если известно, что $3S(DGJH)+5S(EJFB)=11$ (через $S(\Phi)$ обозначена площадь фигуры $\Phi$).
Ответ:
Решение:
Пусть для некоторых чисел $x$, $y$, $z$ выполняется равенство \[ \frac{1}{x-y}+\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x}=1{,}5. \] Найдите наименьшее возможное значение выражения $\dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2}$.
Ответ:
Решение: