Поиск задач

Ломаная на плоскости составлена из трех одинаковых отрезков. Ее крайние звенья случайным образом повернуты относительно центрального звена. Найдите вероятность того, что крайние звенья пересекаются.

В графе нет петель и кратных ребер, а вершин на 10 меньше, чем ребер. Какое наименьшее количество циклов может быть в таком графе?

Крупная торговая сеть продовольственных магазинов проводит внутренний аудит (независимую проверку) своих поставщиков с их согласия. Сначала проверяется количество жалоб и рекламаций со стороны покупателей на 100 единиц проданного товара.
Если жалоб нет или очень мало, то аудит завершается.
Если жалоб немного, то назначается выборочная проверка условий производства и качества продукции.
Сплошная проверка качества продукции и условий производства обходится втрое дороже выборочной и назначается в двух случаях: 1. Количество жалоб превышает некоторое пороговое значение. Вероятность этого равна 0,25. 2. Выборочная проверка выявила много нарушений. Вероятность этого равна $\beta$.
Главный экономист сети заявил, что, если упразднить выборочную проверку, заменив ее сплошной, то средняя стоимость аудита не изменится, а время аудита сократится. Оказалось, что экономист прав. Найдите вероятность $\beta$.

Муха ползет из нижней левой вершины $M$ в верхнюю правую вершину $N$ решетки $3\times 5$, случайным образом выбрав один из кратчайших равновозможных маршрутов на этой решетке (на рисунке показан один из таких путей). Иногда она поворачивает налево, иногда — направо. Нас интересует, сколько поворотов сделает муха. Найдите математическое ожидание этой случайной величины.

В ящике $n$ пронумерованных шаров. Шары вынимали по одному в случайном порядке. Каждый раз вынутый шар возвращали в ящик и шары перемешивали перед следующим извлечением. Случилось так, что в четвертый раз вынули шар, который уже вынимали прежде, а перед этим повторов не было. При каком $n$ вероятность этого события наибольшая?

Симметричный игральный кубик бросают много раз. Какова вероятность того, что перед тем как первый раз выпадет грань с нечетным числом, все грани с четными числами выпадут хотя бы по разу?

Некоторый числовой массив обладает тем свойством, что если к каждому числу прибавить число 2, то сумма квадратов чисел массива не изменится. Найдите среднее арифметическое массива.

В группе детского сада 5 мальчиков и 5 девочек. Между каждым мальчиком и каждой девочкой есть взаимная симпатия с вероятностью $p=0{,}5$, а с вероятностью $q=0{,}5$ взаимной симпатии нет независимо от прочих симпатий. По команде воспитателя все дети разбиваются на пары «мальчик–девочка». Сначала формируются случайные пары на основе взаимной симпатии (назовем их добровольными), а уже потом, если симпатий не хватило, — случайные пары, в которых взаимной симпатии нет (вынужденные). Какова вероятность того, что все образовавшиеся пары добровольные? Результат округлите до тысячных.

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для событий $A$, $B$ и $C$ в некотором случайном опыте. В семи областях диаграммы указаны вероятности соответствующих событий. Известно, что события $A$ и $B$ независимы и что их вероятности отличны от 0.

Найдите наибольшую возможную вероятность события $$(A\cup B\cup C)\cap\overline{(A\cap B\cap C)}.$$