Поиск задач

При каком наименьшем $n$ существуют $n$ чисел из интервала $(-1;1)$, таких, что их сумма равна $0$, а сумма их квадратов равна $30$?

Пете необходимо спаять электрическую схему, состоящую из $10$ чипов, соединённых между собой проводами (один провод соединяет два различных чипа; два чипа может соединять не более одного провода), при этом из одного чипа должно выходить $9$ проводов, из одного — $8$, из одного — $7$, из двух — по $5$, из трёх — по $3$, из одного — $2$, из одного — $1$. Может ли Петя спаять такую схему?

Дан многочлен $F(x)=1+2x+3x^2+4x^3+\ldots+100x^{99}$. Можно ли, переставив коэффициенты в нём, получить многочлен $G(x)=g_0+g_1x+g_2x^2+g_3x^3+\ldots+g_{99}x^{99}$ такой, что для всех натуральных чисел $k\geqslant 2$ разность $F(k)-G(k)$ не кратна $100$?

В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катете $AC$ как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу $AB$ в точке $E$. Через точку $E$ проведена касательная к окружности, которая пересекает катет $CB$ в точке $D$. Найдите длину $DB$, если $AE=6$, а $BE=2$.

Про функции $p(x)$ и $q(x)$ известно, что $p(0)=q(0)\gt 0$ и $p'(x)\sqrt{q'(x)}=\sqrt{2}$ для любого $x\in[0;1]$. Докажите, что если $x\in[0;1]$, то $p(x)+2q(x)\gt 3x$.

Решите систему уравнений\[\begin{cases}12x^2+4xy+3y^2+16x=-6,\\4x^2-12xy+y^2+12x-10y=-7.\end{cases}\]

При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^3-11x^2+ax-8=0$ имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию?

Про тетраэдр $PQRS$ известно, что $PQ=4$, $SR=6$, $\angle QRS=\angle PSR=50^\circ$, $\angle QSR=\angle PRS=40^\circ$. Вокруг тетраэдра описана сфера. Рассмотрим на этой сфере множество всех точек, сумма сферических расстояний от которых до точек $P$, $Q$, $R$, $S$ не меньше $6\pi$. Чему равна площадь этого множества? Сферическое расстояние между двумя точками на сфере — длина наименьшей дуги окружности большого круга, соединяющей эти точки.

Пункты $A$ и $B$, находящиеся на кольцевой аллее, соединены прямолинейным отрезком шоссе длиной $4$ км, являющимся диаметром кольцевой аллеи. Из пункта $A$ из дома по аллее вышел на прогулку пешеход. Через $1$ час он обнаружил, что забыл ключи, и попросил соседа-велосипедиста поскорее привезти их. Через какое минимальное время он может получить ключи, если скорость велосипедиста на шоссе равна $15$ км/ч, на аллее — $20$ км/ч, а скорость пешехода — $6$ км/ч? Пешеход может идти навстречу велосипедисту.

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения\[4\sin(3x)+13\cos(3x)=8\sin(x)+11\cos(x).\]