Поиск задач

Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда, наполнен водой и его глубина равна $h$. В процессе слива воды из бассейна его глубина изменялась по закону \[ h(t)=at^2+bt+c \] при некоторых константах $a$, $b$ и $c$. Начало слива соответствует моменту $t=0$, его завершение — моменту времени $t=T$ при этом $h(T)=0$. Известно, что $h'(T)=0$ и через час после начала слива объем воды в бассейне уменьшился на $36\%$. Найти $T$ — время, за которое вода в бассейне полностью сливается.

Решить уравнение \[ \left(\sin2x+\sqrt{1+\sin^22x}\right)\left(\sin3x+\sqrt{1+\sin^23x}\right)=1. \]

Известно, что $P(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами, имеет целый отрицательный корень и $P(3)=-19$. Найти этот корень.

На ребрах $AB$ и $DC$ треугольной пирамиды $ABCD$ расположены точки $M$ и $N$ так, что \[ AM:AB=1:2\quad\text{и}\quad DN:DC=1:3. \] На прямых $DM$ и $AN$ взяты точки $P$ и $Q$ так, что прямые $PQ$ и $BC$ параллельны. Найти отношение длин отрезков $PQ:BC$.

При каких $b$ найдется $c$ такое, что уравнение \[ x^3+x^2+bx+c=0 \] имеет три отрицательных корня, являющиеся тремя последовательными членами арифметической прогрессии?