Поиск задач

Найти среднее арифметическое решений уравнения \[ \sqrt{\sin x-\sin2x+\sin3x}=\sqrt{\sin x}-\sqrt{\sin2x}+\sqrt{\sin3x} \] на отрезке $[0;2\pi]$.

Решить уравнение \[ \left[\sqrt{\left[\sqrt{2024(x+1)(3-x)}\right]}\right]=\left[\sqrt[4]{2024(x+1)(3-x)}\right]. \] Здесь $[b]$ — целая часть числа: наибольшее целое число не превосходящее $b$.

Целые числа $x$ и $y$ связаны уравнением $2x-3y=1$ и имеют вид \[ x=12a+b\sqrt5,\quad y=ba^{-1}+3\sqrt5 \] для некоторых чисел $a$ и $b$. Найти $x$, $y$ и $a$, если известно, что число $b$ рациональное.

Для каждого натурального $n$ определим число $\varphi(n)$, равное количеству целых чисел $m$, $1\leqslant m\leqslant n$ взаимно простых с $n$. Найти $\varphi(1947)$.

Через четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$, попарные расстояния между которыми равны $\sqrt{15}$, проведена сфера $S$. Через точки $E$ и $F$, расположенные на ребрах $AB$ и $CD$ пирамиды $ABCD$ соответственно, проведена прямая, пересекающая сферу в точках $M$ и $N$, ($E\in[M,F]$). Известно, что точки $E$ и $F$ делят хорду $MN$ в отношении $ME:EF:FN=1:2:3$. Найти длину отрезка $ME$.

Компания друзей совершала пробежку по прямолинейному участку шоссе: мальчики бежали в одном направлении, девочки — в противоположном. Через $t_1$ мин после того, как Паша обогнал Ваню, он поравнялся с Таней, а затем через $t_2$ мин оказался рядом с бегущей Машей. Спустя еще $t_3$ мин Маша повстречалась с Ваней. Наконец, еще $t_4$ мин понадобилось ей чтобы догнать Таню. Известно, что $t_1:t_2=1:2$ и $t_3:t_4=1:1$.
Сколько времени было на часах, когда Ваня поравнялся с Таней, если известно, что Паша догнал Ваню в $12$ часов дня, Маша была в одной точке шоссе с Ваней в момент, когда часы показывали $14$ часов, а скорость бега всех участников была постоянной и различной для каждого?