Поиск задач

Найдите коэффициент $a_{2024}$ многочлена $P(x)=\left(1+x^{125}+x^{131}\right)^{18}$, если бы он был приведён в форму суммы одночленов вида $a_kx^k$, $k=0,2,3,\ldots,2358$.

Найти сумму максимальных нечетных делителей каждого из целых чисел на отрезке $[41;80]$.

На плоскости нарисовано $100$ прямоугольников с вершиной в начале координат, с противоположной вершиной — на гиперболе $y=\frac{2x+3}{x}$ в точках с абсциссой $x=n$, $n=1,2,3,\ldots,100$ со сторонами параллельными координатным осям. Область $D$ содержит те точки плоскости, которые принадлежат только одному из прямоугольников. Найдите площадь $D$.

Точка $O$ — начало трех отрезков $OA$, $OB$ и $OC$ лежащих в плоскости $P$ и имеющих длины $1$, $2$ и $3$ соответственно. На прямой $L$, проходящей через точку $O$ и перпендикулярной плоскости $P$, расположена точка $D$ так, что сумма углов, образуемых прямыми $DA$, $DB$ и $DC$ с прямой $L$, равна $180^\circ$. Найдите длину отрезка $OD$.

На стадионе имеются две беговые дорожки. Каждая из них является границей квадрата со сторонами $400$ м и $600$ м соответственно. Квадраты имеют общую вершину $A$ и две стороны меньшего квадрата лежат на сторонах большего квадрата. Два друга Петя и Коля решили пробежаться, но выбрали для этого разные дорожки. Стартовали одновременно из точки $A$ и бежали $2$ часа в одном направлении с одинаковой скоростью $100$ м/мин. Сколько метров дистанции ребята бежали рядом друг с другом?

Пары чисел $(x;y)$ связаны соотношениями \[ \dfrac{\sin x}{1+\sin y-\sin x}=\dfrac{\sin y}{1+\sin x-\sin y}=\dfrac{1}{\sin x+\sin y-1}. \] Найдите наименьшее возможное значение величины $\sin^2x-\frac16\cos2y$.