Поиск задач

В тетради написаны $n$ целых чисел, упорядоченных по убыванию $a_1\gt a_2\gt \ldots\gt a_n$ и имеющих сумму $120$. Известно, что $k$-ое по порядку написанное число $a_k$, кроме последнего, полученного при $k=n$, в $(k+1)$ раз меньше суммы всех остальных написанных чисел. Найти максимальное число $n$, возможное при этих условиях. Найти эти числа для максимально возможного $n$.

Найти девять натуральных чисел, кратных шести, среди которых ни одно число не кратно другому, но куб каждого числа кратен квадрату любого из них.

Ненулевые целые числа $a$, $b$, $c$ являются тремя последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. Все шесть квадратных уравнений, коэффициентами которых являются числа $a$, $b$, $c$, взятые в произвольном порядке, имеют два корня. Найти наименьшее возможное при этих условиях значение разности прогрессии и соответствующие ей числа $a$, $b$, $c$.

В треугольнике $ABC$ проведены срединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $AC$, пересекающие прямые $AC$ и $AB$ в точках $N$ и $M$ соответственно. Длина отрезка $NM$ равна длине стороны $BC$ треугольника. Найти угол при вершине $A$ треугольника.

Трасса для автомобильных гонок содержит три участка: шоссейный, грунтовый и грязевой. Скорость движения двух автомобилей, участвующих в гонке, на каждом участке трассы одинаковая, равная $160$, $60$ и $20$ км/час соответственно. Отчет времени пошел в тот момент, когда красный автомобиль находился на шоссе в $400$ м впереди белого автомобиля, а он в этот момент пересекал линию старта в начале шоссейного участка. Найти расстояние между автомобилями в моменты времени, когда оба они находились на грунтовом участке трассы. Найти расстояние между автомобилями в момент, когда они оба находились на грязевом участке трассы.