Поиск задач

Имеется куб, зафиксированный на ножках, и шесть различных красок. Сколькими способами можно покрасить все грани куба (каждую в один цвет, все краски использовать не обязательно) так, чтобы соседние грани (имеющие общее ребро) были разного цвета?

Дробь $1/9$ записана в виде бесконечной двоичной дроби. Сколько единиц среди первых 2022 цифр после запятой содержится в такой форме записи?

Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} \left(a|\operatorname{tg}^3y|+a|\operatorname{ctg}^3x|-8\right)\left(\operatorname{ctg}^6x+\operatorname{tg}^6y-3a^2\right)=0,\\ \sqrt{(\operatorname{ctg}^6x)(\operatorname{tg}^6y)}=a \end{cases} \] имеет не более двенадцати различных решений при $x\in(0,\pi)$ и $y\in(-\pi/2,\pi/2)$.

Внутри правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ расположена правильная четырехугольная призма $KLMNK_1L_1M_1N_1$, основание $KLMN$ которой лежит в плоскости $ABC$. Центр основания $KLMN$ призмы расположен на отрезке $AC$, $KL\parallel AC$, $KN\parallel BD$ (точки $K$ и $B$ лежат по одну сторону от $AC$), сторона основания призмы равна 2, боковое ребро $KK_1$ призмы равно 3. Вершины $L_1$ и $M_1$ верхнего основания призмы $KLMNK_1L_1M_1N_1$ принадлежат боковым граням $SBC$ и $SCD$ пирамиды $SABCD$ соответственно. Плоскость $\gamma$ проходит через прямую $BD$ и точку $L_1$. Найдите объемы частей, на которые делит пирамиду $SABCD$ плоскость $\gamma$, если сторона пирамиды равна $8\sqrt{2}$, а её высота равна 12.

Современную жизнь невозможно представить без спутниковой связи и навигации. В 202 году только тремя ведущими космическими державами произведено 126 успешных запусков спутников. По данным прикладного потребительского центра ГЛОНАСС в настоящее время в составе системы ГЛОНАСС задействовано 25 спутников, в системах GPS — 32, ГАЛИЛЕО — 26, БЕЙДОУ — 49 спутников. Возникает проблема безопасности их полетов.
а) Считая Землю шаром радиуса $R$, определите, какое наибольшее количество спутников может одновременно находиться на орбитах вокруг Земли на одной и той же высоте $H$ от ее поверхности так, чтобы расстояние между аппаратами было не меньше $\sqrt{2}(R+H)$.
б) Для найденного максимального количества спутников указать координаты возможного их расположения в системе координат с началом в центре Земли и осью абсцисс, направленной вдоль вектора, соединяющего центр Земли с одним из спутников.

Точка $M$ принадлежит катету $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$, причем $AM=2$, $MC=16$. Отрезок $MH$ — высота треугольника $AMB$. Точка $D$ расположена на прямой $MH$ так, что угол $ADB$ равен $90^\circ$, и точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AB$. Найдите длину отрезка $BL$, если $L$ — точка пересечения $BD$ и $AC$, а тангенс угла $ACH$ равен $1/18$.