Поиск задач

Игра в кости. При броске пяти попарно различных разноцветных кубиков выпадает сумма в 21 очко. Сколько возможно различных вариантов с такой суммой?

Ученики девятого, десятого и одиннадцатого классов надували шарики к празднику. Каждый девятиклассник работал 6 часов, десятиклассник — 12 часов, одиннадцатиклассник — 18 часов. При этом каждый девятиклассник надул 45 шариков, десятиклассник — 100 шариков, одиннадцатиклассник — 120 шариков. Все ученики вместе отработали 108 часов. Сколько шариков было приготовлено к празднику, если их общее количество оказалось максимально возможным?

Точки $E$ и $K$ — соответственно середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Прямая $BE$ пересекается с прямой $CK$ в точке $O$. Докажите, что вокруг четырехугольника $ABOK$ можно описать окружность. Найти радиус этой окружности, если сторона квадрата равна 1.

Числа $x$ и $y$ таковы, что \[ \begin{cases} x+y=a+2,\\ xy=a^2-a+2. \end{cases} \] При каком значении $a$ сумма $x^2+y^2$ принимает наибольшее значение?

От прямой линии, проходящей через точки пересечения медиан и биссектрис тупоугольного треугольника, двумя его сторонами отсекается отрезок длиной на 1 см меньше, чем одна из длин сторон данного треугольника. Найдите наименьшую из возможных длин сторон этого треугольника, если их длины выражаются натуральными числами (в см) и образуют арифметическую прогрессию.

Решите неравенство: \[ 3|3x-2|-|x-1|-2|x|\leqslant 2\sqrt{9x^2-12x+4}+\sqrt{x^2-2x+1}-1. \]