Поиск задач

Найдите все целочисленные решения неравенства \[ x^2y^2+y^2z^2+x^2+z^2-38(xy+z)-40(yz+x)+4xyz+761\leqslant 0. \]

Докажите, что при любых натуральных значениях $n$ число $5^n\left(2^{2n}-3^n\right)+2^n-7^n$ делится нацело на 65.

Первая окружность с центром в точке $O$ вписана в треугольник $ABC$. Точки $A$ и $B$ лежат на второй окружности с центром в той же точке $O$. Прямая $AC$ пересекает вторую окружность в точке $D$ ($D\ne A$), а прямая $BC$ пересекает вторую окружность в точке $E$ ($B\ne E$). Известно, что угол $ABC$ равен углу $CAE$. Найдите косинус угла $BAC$. Ответ не должен включать обозначения тригонометрических функций и обратных к ним.

Найдите все значения параметра $b$, при котором для любого значения параметра $a\in[-1;1]$ неравенство $x^2+6x+2(a+b+1)\sqrt{-x^2-6x-5}+8\lt a^2+b^2+2a$ не выполняется хотя бы для одного $x\in[-5;-1]$.

Автобус с 6 часов утра с постоянной скоростью курсирует между пунктами $A$ и $B$, причем, доехав до пункта $A$ или $B$ он сразу же поворачивает обратно. Петя на мопеде и Вася на велосипеде одновременно вместе с автобусом в 6 часов утра отправились из пункта $A$ в пункт $B$, двигаясь при этом с постоянными скоростями. Известно, что автобус во время второго передвижения из пункта $A$ в пункт $B$ в 13 часов 30 минут поравнялся с Васей, и прибыл в пункт $B$ в 15 часов одновременно с Петей. Определите отношение скоростей движения Васи и Пети. Укажите, в котором часу автобус на пути своего первого следования из пункта $B$ в пункт $A$ поравнялся с Васей.

Решите неравенство \[ \dfrac{4x^4+1}{4\sqrt2}\leqslant x\sqrt{x^4-\dfrac14}. \]