Поиск задач

Имеется $5$ кусков прозрачного стекла одинаковой квадратной формы и одинакового размера. Каждое стекло своими диагоналями условно разделено на $4$ одинаковые части (прямоугольные треугольники), и один из этих треугольников закрашен непрозрачной краской своего индивидуального цвета, отличного от цветов закраски других стекол. Затем все эти стекла укладываются друг на друга в стопку (с точным выравниванием границ и вершин) закрашенными частями вверх. Сколько существует различных способов укладки стекол в стопку так, чтобы вся она в итоге оказалась полностью непрозрачной в вертикальном направлении?

Решите уравнение \[ \sin^4(2025x)+\cos^{2019}(2016x)\cdot\cos^{2018}(2025x)=1. \]

Решите неравенство $\frac23g\left(\frac{g(x)}{3}\right)+2\sqrt{2-\frac{3}{g(x)}}\geqslant50g\left(g^2(x)\right)$, где $g(x)=\frac{3}{x^2-4x+5}$.

Найдите все значения параметров $a$ и $b$, при которых уравнение \[ 6a-2ab\,\tilde{\operatorname{tg}}\,x+\sqrt{2\left(x+\left|x+b\,\tilde{\operatorname{tg}}\,x\right|+b\,\tilde{\operatorname{tg}}\,x\right)}=4+2ax \] имеет единственное решение, если $\tilde{\operatorname{tg}}\,x=\operatorname{tg}x$ при $x\ne\pi/2+\pi n$, и $\tilde{\operatorname{tg}}\,x=0$ при $x=\pi/2+\pi n$, $n\in\mathbb Z$. Укажите это решение при каждом из найденных значений $a$ и $b$.

Найдите объемы частей, на которые делит правильную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$ плоскость, параллельная диагонали $AC_1$ боковой грани $AA_1C_1C$, проходящая через вершину $C$ и центр симметрии боковой грани $AA_1B_1B$, если площадь сечения призмы этой плоскостью равна $21$, а сторона основания призмы равна $2\sqrt{14}$.

На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $D$ и $E$ так, что площадь треугольника $ADE$ равна $0{,}5$. Вписанная в четырехугольник $BDEC$ окружность касается стороны $AB$ в точке $K$, причем $AK=3$. Найдите тангенс угла $BAC$, если около четырехугольника $BDEC$ можно описать окружность, и $BC=15$.