Поиск задач

Найдите количество пар целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющих системе неравенств \[ \begin{cases} y\geqslant 90+x-6^{90},\\ y\leqslant \log_6 x. \end{cases} \] Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более трёх слагаемых.

Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} y=\left|x-\sqrt a\right|+\sqrt a-2,\\ (|x|-4)^2+(|y|-3)^2=25 \end{cases} \] имеет ровно три решения.

а) Две параллельные прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ касаются окружности $\omega_1$ с центром $O_1$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Окружность $\omega_2$ с центром $O_2$ касается прямой $\ell_1$ в точке $D$, пересекает прямую $\ell_2$ в точках $B$ и $E$, а также вторично пересекает окружность $\omega_1$ в точке $C$ (при этом точка $O_2$ лежит между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$). Известно, что отношение площади четырёхугольника $BO_1CO_2$ к площади треугольника $O_2BE$ равно 2. Найдите отношение радиусов окружностей $\omega_2$ и $\omega_1$.
б) Найдите эти радиусы, если дополнительно известно, что $BD=2$.

а) Сфера с центром $O$ касается боковых рёбер $SA$, $SB$, $SC$ пирамиды $SABC$ в точках $K$, $L$, $M$ соответственно, а также касается её основания $ABC$. Через точку сферы, ближайшую к точке $S$, проведена плоскость, касающаяся сферы. Площадь сечения пирамиды $SABC$ этой плоскостью равна 5, $\angle KSO=\arccos\frac{\sqrt{21}}{5}$. Найдите площадь треугольника $KLM$.
б) Пусть дополнительно известно, что $SO=36$, а плоскости $KLM$ и $ABC$ параллельны. Найдите объём пирамиды $SABC$.

Решите неравенство \[ 27^{\sqrt{\log_3 x}}-11\cdot 3^{\sqrt{4\log_3 x}}+40\cdot x^{\sqrt{\log_x 3}}\leqslant 48. \]

Монету подбрасывают 90 раз (вероятности выпадения орла и решки в каждом броске одинаковы). Пусть $p$ — вероятность того, что орёл выпадет не меньше 55 раз, а $q$ — вероятность того, что орёл выпадет меньше 35 раз. Найдите $p-q$.

Решите уравнение \[ \frac{\cos 8x}{\cos 3x+\sin 3x}+\frac{\sin 8x}{\cos 3x-\sin 3x}=\sqrt2. \]