Поиск задач

На каждой из прямых $x=0$ и $x=2$ отмечено по 62 точки с ординатами $1, 2, 3, \ldots, 62$. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 124 так, чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?

Каких целых чисел от 1 до $8\cdot10^{20}$ (включительно) больше и на сколько: содержащих в своей записи только чётные цифры или содержащих в своей записи только нечётные цифры?

Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции $(g(x))^2+2f(x)$, если наименьшее значение функции $(f(x))^2+2g(x)$ равно 5.

В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна 6, а угол $ACB$ равен $120^\circ$. Окружность $\Omega$ радиуса $\sqrt3$ касается сторон $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $L$ соответственно и пересекает сторону $AB$ в точках $M$ и $N$ ($M$ лежит между $A$ и $N$) так, что отрезок $MK$ параллелен $AC$. Найдите длины отрезков $CL$, $MK$, $AB$ и площадь треугольника $ANL$.

Уравнение $x^2+ax+5=0$ имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$; при этом \[ x_1^2+\dfrac{250}{19x_2^3}=x_2^2+\dfrac{250}{19x_1^3}. \] Найдите все возможные значения $a$.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ проведена диагональ $BD$, и в каждый из полученных треугольников $ABD$ и $BCD$ вписана окружность. Прямая, проходящая через вершину $B$ и центр одной из окружностей, пересекает сторону $DA$ в точке $M$. При этом $AM=\frac85$ и $MD=\frac{12}5$. Аналогично, прямая, проходящая через вершину $D$ и центр второй окружности, пересекает сторону $BC$ в точке $N$. При этом $BN=\frac{30}{11}$ и $NC=\frac{25}{11}$.
а) Найдите отношение $AB:CD$.
б) Найдите длины сторон $AB$ и $CD$, если дополнительно известно, что данные окружности касаются друг друга.

Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от девяти последовательных натуральных чисел до некоторого числа $a$ равна 294, а сумма расстояний от этих же девяти чисел до некоторого числа $b$ равна 1932. Найдите все возможные значения $a$, если известно, что $a+b=256$.