Олимпиада «Физтех»

Найдите все значения $p$, при каждом из которых числа $4p+5$, $2p$ и $|p-3|$ являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии.

Найдите значение выражения \[ \cos^4\dfrac{5\pi}{24}+\cos^4\dfrac{11\pi}{24}+\sin^4\dfrac{13\pi}{24}+\sin^4\dfrac{19\pi}{24}. \]

В числе $2*0*1*6*0*2*$ нужно заменить каждую из $6$ звёздочек на любую из цифр $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное $12$-значное число делилось на $45$. Сколькими способами это можно сделать?

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x+\sqrt{x+2y}-2y=\dfrac72,\\ x^2+x+2y-4y^2=\dfrac{27}{2}. \end{cases} \]

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений \[ \begin{cases} \bigl(|y+9|+|x+2|-2\bigr)\bigl(x^2+y^2-3\bigr)=0,\\ (x+2)^2+(y+4)^2=a \end{cases} \] имеет ровно три решения.

Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника $NPQ$ с основанием $NQ$ описана окружность $\Omega$. Точка $F$ — середина дуги $PN$, не содержащей точки $Q$. Известно, что расстояния от точки $F$ до прямых $PN$ и $QN$ равны соответственно $5$ и $\dfrac{20}{3}$. Найдите радиус окружности $\Omega$ и площадь треугольника $NPQ$.