Олимпиада «Физтех»

Найдите количество точек плоскости $xOy$, имеющих натуральные координаты $x$, $y$ и лежащих на параболе $y=-\dfrac{x^2}{9}+33$.

Решите неравенство \[ x^2+x+20\gt 8\left|x-\sqrt{x}+1\right|+2x\sqrt{x}. \]

В числе $2*0*1*6*07*$ нужно заменить каждую из $5$ звёздочек на любую из цифр $0, 2, 4, 5, 6, 7$ (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное $11$-значное число делилось на $75$. Сколькими способами это можно сделать?

Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих уравнению \[ |5x|+|12y|+|60-5x-12y|=60, \] и найдите площадь полученной фигуры.

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2y+xy^2+3x+3y+24=0,\\ x^3y-xy^3+3x^2-3y^2-48=0. \end{cases} \]

Окружность проходит через вершины $Q$ и $E$ треугольника $MQE$ и пересекает его стороны $MQ$ и $ME$ соответственно в точках $B$ и $D$, отличных от вершин треугольника. Отношение площади треугольника $BDM$ к площади треугольника $MQE$ равно $9/121$.
а) Найдите отношение $QE:BD$.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площадей треугольников $BME$ и $DQM$ равно $4$. Найдите отношение $BQ:DE$.