Олимпиада «Физтех»

Числа $a$, $b$, $c$ являются первым, вторым и третьим членами геометрической прогрессии соответственно (числа $a$, $b$, $c$ не заданы), а четвёртый член прогрессии является корнем уравнения $ax^2+2bx+c=0$. Найдите третий член прогрессии.

Найдите количество треугольников периметра $1200$ с целочисленными сторонами, у которых одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.

Решите систему уравнений \[\begin{cases} y-2x=\sqrt{xy-2x-y+2},\\ 2x^2+y^2-4x-4y+3=0.\end{cases}\]

а) В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катете $AC$ и гипотенузе $AB$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно, такие что $AD:AC=3:5$ и $DE\perp AB$. Найдите тангенс угла $BAC$, если известно, что $\angle CED=45^\circ$.
б) Пусть дополнительно известно, что $AC=\sqrt{29}$. Найдите площадь треугольника $CED$.

Окружности $\Omega$ и $\omega$ касаются в точке $A$ внутренним образом. Отрезок $AB$ — диаметр большей окружности $\Omega$, а хорда $BC$ окружности $\Omega$ касается $\omega$ в точке $D$. Луч $AD$ повторно пересекает $\Omega$ в точке $E$. Найдите радиусы окружностей и площадь четырёхугольника $BACE$, если известно, что $CD=1$, $BD=3$.

Найдите все пары чисел $(a;b)$ такие, что неравенство \[2x^2-x-1\leqslant ax+b\leqslant x+|2x-1|\] выполнено для всех $x$ на промежутке $\left[-\dfrac14;\dfrac32\right]$.

Функция $f$ определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел $a$ и $b$ из этого множества выполнено равенство $f(ab)=f(a)+f(b)$, и при этом $f(p)=[p/2]$ для любого простого числа $p$ ($[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Найдите количество пар натуральных чисел $(x;y)$ таких, что $1\leqslant x\leqslant 21$, $1\leqslant y\leqslant 21$ и $f(x/y)\lt 0$.