Олимпиада «Физтех»

Третий член арифметической прогрессии равен $3x+3$, пятый член равен $(x^2+2x)^2$, а девятый равен $3x^2$. Найдите $x$.

Найдите наибольшее значение выражения $4y+8x$ при условии \[\begin{cases} |x-3y|\leqslant 3,\\ |3x-y|\leqslant 1.\end{cases}\]

Найдите все пары $(m,n)$ натуральных чисел, для которых одно из чисел \[A=m^2+2mn+n^2-9m-9n\quad\text{и}\quad B=m^2n+mn^2-3mn\] равно $13p^2$, а другое равно $75q^2$, где $p$ и $q$ — простые числа.

Прямая, параллельная биссектрисе $AX$ треугольника $ABC$, проходящая через середину $M$ его стороны $BC$, пересекает сторону $AB$ и продолжение стороны $AC$ в точках $Z$ и $Y$ соответственно. Найдите $BC$, если $AC=18$, $AZ=6$, $YZ=8$.

Решите систему уравнений \[\begin{cases} \sqrt{x+1}-\sqrt{6-y}+5=2\sqrt{6+5x-y^2},\\ x^4+5x^2-\sqrt y=y^4-\sqrt x+5y^2.\end{cases}\]

На тетрадном листе нарисован квадрат $8\times8$ клеток (стороны квадрата идут вдоль границ клеток), а все узлы сетки внутри квадрата или на его границе покрашены в чёрный цвет. Найдите количество способов перекрасить два узла в белый цвет, если раскраски, получающиеся друг из друга поворотом, считаются одинаковыми.

В треугольнике $ABC$ на медиане $AM$ и биссектрисе $CL$ как на диаметрах построены окружности $\Omega$ и $\omega$ соответственно, пересекающиеся в точках $P$ и $Q$. Отрезок $PQ$ параллелен высоте треугольника $ABC$, проведённой из вершины $B$. Окружность $\Omega$ пересекает сторону $AC$ повторно в точке $N$. Найдите длины сторон $AC$ и $BC$, если $AB=10$, $AN=8$.