Олимпиада «Физтех»

На дуге полукруга с диаметром $MN$ и центром $O$ взята точка $K$. Построен треугольник $ABC$ такой, что его вершина $A$ лежит на отрезке $OK$, вершина $B$ — на отрезке $ON$, вершина $C$ — на дуге $KN$. Найдите отношение площади сектора $MOK$ к площади полукруга, если известно, что $AC=BC=OM$ и $\angle ACB=72^\circ$.

Найдите все натуральные $a$ и $b$ такие, что \[\begin{cases} \min(a;b)=7|a-b|,\\ 7\cdot\max(a;b)=8\bigl(\text{НОД}(a;b)\bigr)^2-64.\end{cases}\]

Найдите все пары целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющие неравенству \[\sqrt{y+3-10x}+\dfrac{1}{\sqrt{10x-1-y}}\gt y^2+12y.\]

Петя загадал такие вещественные числа $x$, $y$, $z$, что выражения \[\dfrac{x(y-z)}{y(z-x)}\quad\text{и}\quad\dfrac{2y(z-x)}{z(y-x)}\] принимают одно и то же значение $A$. Найдите все возможные значения $A$, если известно, что их не менее двух.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с диаметром $AB$, а $H$ — ортогональная проекция точки $D$ на $AB$. Диагональ $AC$ пересекает отрезок $DH$ в точке $X$. Найдите $CD$, если $DX=20$, $AX=15$, $CX=36$.

Решите уравнение $\sqrt[4]{8x+1}=\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{9x-1}$.

Сколькими способами из натуральных чисел от $2\,002$ до $2\,025$ можно выбрать $6$ чисел так, чтобы среди выбранных чисел нашлось $3$ числа, дающих одинаковые остатки от деления на $8$?