Олимпиада «Физтех»

Найдите все тройки натуральных чисел $(A;B;C)$ такие, что:

• $A$ — четырёхзначное число, составленное из одинаковых цифр,
• $B$ — трёхзначное число, хотя бы одна из цифр которого равна 2,
• $C$ — двузначное число, хотя бы одна из цифр которого равна 3,
• произведение $A\cdot B\cdot C$ является квадратом некоторого натурального числа.

Положительные числа $x$ и $y$ таковы, что значение выражения \[ K=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{xy} \] не изменяется, если $x$ уменьшить на 1, а $y$ — увеличить на 1. Найдите все возможные значения выражения $M=x^3-y^3-3xy$.

а) Найдите все пары действительных чисел $(x;y)$ такие, что \[ (\sin\pi x+\sin\pi y)\sin\pi x=(\cos\pi x+\cos\pi y)\cos\pi x. \]
б) Сколько пар целых чисел $(x,y)$ удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству \[ \arcsin\dfrac{x}{5}+\arccos\dfrac{y}{4}\lt \dfrac{3\pi}{2}? \]

В начале месяца было выделено 4 билета на праздничный концерт, которые планировалось случайным образом распределить между одиннадцатиклассниками. В конце месяца выяснилось, что будет выделено больше 4 билетов. Одиннадцатиклассники Петя и Вася вычислили, что вероятность им обоим вместе попасть на концерт в начале месяца была в 2,5 раза меньше, чем оказалась в конце месяца. Сколько всего было выделено билетов на концерт в конце месяца, если количество одиннадцатиклассников не изменилось?

Точка $O$ — центр окружности $\omega_1$, описанной около остроугольного треугольника $ABC$. Окружность $\omega_2$, описанная около треугольника $BOC$, пересекает отрезок $AB$ в точке $P$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AP=\dfrac{15}{2}$, $BP=5$, $AC=9$.

На координатной плоскости изображена фигура $\Phi(\alpha)$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} \left(x-3\sqrt{2}\sin\alpha\right)\left(y-3\sqrt{2}\cos\alpha\right)\leqslant 0,\\ x^2+y^2\leqslant 25. \end{cases} \] Найдите максимальное значение $M$ периметра (длины границы) фигуры $\Phi(\alpha)$ и укажите все значения $\alpha$, при которых оно достигается.

Шар $\Omega$ касается всех рёбер правильной усечённой пирамиды, а шар $\omega$ касается всех её граней. Пусть сторона верхнего основания меньше, чем сторона нижнего. Найдите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади её нижнего основания.