Олимпиада «Физтех»

Какого наибольшего значения может достигать $y$, если известно, что существует такое число $x$, что выполняется соотношение $x-2\sqrt{x+7}=2\sqrt{y+7}-y$?

Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$, в которой $AB=14\sqrt{42}$, $AS=49\sqrt6$. Муравей пробежал по всем боковым граням пирамиды, начав путь в вершине $A$, и вернувшись в эту же вершину. Какой минимальный путь он мог проделать?

Найдите количество различных значений функции $f(x)=[15x]+[21x]+[35x]+[45x]+\left[\frac{4x}{3}\right]$ на отрезке $x\in[0;75]$.
Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1{,}7]=1$, $[-1{,}7]=-2$.

У Олега есть конфеты 32 сортов. Он хочет выложить конфеты в ряд так, чтобы для любых двух сортов нашлись рядом лежащие конфеты этих сортов. Какого наименьшего количества конфет ему для этого хватит?

На трёх параллельных прямых $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ взяты точки $A_1$, $A_2$, $A_3$ соответственно, и при этом треугольник $A_1A_2A_3$ равнобедренный. Известно, что расстояние между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$ равно 3, расстояние между $\ell_1$ и $\ell_3$ равно 13, а расстояние между $\ell_2$ и $\ell_3$ равно 16. Найдите минимально возможную площадь треугольника $A_1A_2A_3$.