Олимпиада «Физтех»

Решите уравнение \[ 3\operatorname{tg}2x+1=\operatorname{tg}\left(x+\frac{3\pi}{4}\right). \]

Сколько существует троек целых чисел $(a;b;c)$ таких, что они образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, а их произведение $abc$ равно $2^{150}\cdot 3^{150}$?

Решите неравенство \[ \ln^2 x-(x-1)\ln(2x)+(\ln 2)\ln x\geqslant 0. \]

На координатной плоскости нарисован квадрат, все вершины которого лежат на графике функции $y=x^3-ax$. Известно, что одна из диагоналей квадрата лежит на прямой $y=-4x$, а центр совпадает с началом координат. Найдите значение параметра $a$ и площадь квадрата.

Вокруг треугольника $ABC$ описана окружность $\Omega$. Точки $D$ и $E$ — середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно, $CF$ — биссектриса треугольника $ABC$. Лучи $DE$ и $CF$ пересекаются в точке $G$, принадлежащей $\Omega$. Найдите углы треугольника $ABC$, если известно, что $\dfrac{CF}{DF}=\dfrac12$.

Числа $x$, $y$ и $z$ не все равны между собой, и при этом \[ x^3+\frac{7}{y^3}=y^3+\frac{7}{z^3}=z^3+\frac{7}{x^3}. \] Найдите минимально возможное значение произведения $xyz$.

В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BC=\sqrt5$, $AD=DC=\sqrt2$, $AC=2$. Ребро $SD$ — высота пирамиды. Известно, что $SA+SB=2+\sqrt5$. Найдите:
а) объем пирамиды;
б) радиус шара, касающегося граней $ABCD$, $SAB$, $SBC$ и ребра $SD$.