Олимпиада «Физтех»

Прямая пересекает график функции $y=x^2$ в двух точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$, а ось абсцисс — в точке с абсциссой $x_3$. Какое наибольшее целое значение может принимать $x_3$, если выполняется равенство $x_1\cdot x_2=573$?

Вычислите значение выражения \[ \left(1+\dfrac{1}{14^2-1}\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{15^2-1}\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{16^2-1}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\dfrac{1}{300^2-1}\right) \] (ответ округлите до тысячных).

Найдите наименьшее натуральное $x$, при котором из того, что $11m+3n$ делится на 23, следует, что $17m+xn$ также делится на 23 ($m$ и $n$ — натуральные).

Найдите количество целочисленных решений $(a;b;c)$ уравнения $27^a\cdot75^b\cdot5^c=1875$, удовлетворяющих условию $|a+b+c|\leqslant111$.

Известно, что $\frac{a}{b+c-3a}=\frac{b}{a+c-3b}=\frac{c}{a+b-3c}$. Найдите все возможные различные значения выражения $\frac{3b}{a}+\frac{3c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$. В ответ запишите сумму найденных значений.

Известно, что для всех пар чисел $(x;y)$, для которых выполняются равенство $x+y=3$ и неравенство $x^2+y^2\gt 14$, выполняется и неравенство $x^3+y^3\gt m$. Какое наибольшее значение может принимать $m$?

Окружность, проходящая через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. Биссектриса угла $ABC$ пересекает отрезок $AP$ в точке $E$ и отрезок $CQ$ — в точке $F$. Найдите отношение $AE:CF$, если $QF=4$, $PE=5$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $BH$. Пусть $M$ — середина отрезка $BH$. Точку $M$ отразили симметрично относительно сторон $AB$ и $CB$, получив точки $K$ и $L$ соответственно. Радиус окружности, описанной около треугольника $KLM$, равен $13\sqrt3$. Какое наибольшее значение может принимать длина отрезка $KH$, если угол $BAC$ равен $60^\circ$?

В футбольном турнире, проходящем в один круг (каждая команда должна сыграть с каждой ровно по одному разу), играют 30 команд. В некоторый момент турнира тренер команды $A$ заметил, что любые две команды, отличные от $A$, сыграли разное количество игр. Какое наибольшее количество игр к этому моменту могла сыграть команда $A$?

В королевстве 29 городов. Некоторые из них соединены прямыми авиарейсами. Известно, что если между городами $A$ и $B$ есть прямой авиарейс, и между городами $B$ и $C$ есть прямой авиарейс, то между городами $A$ и $C$ нет прямого авиарейса. Какое наибольшее количество прямых авиарейсов может быть в королевстве?