Олимпиада «Ломоносов»

На доске было написано 21 последовательное натуральное число. Когда одно из чисел стёрли, сумма оставшихся стала равна 2017. Какое число стёрли?

Прямая проходит через точку с координатами $(10,0)$ и пересекает параболу $y=x^2$ в точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$. Найдите $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$.

Сколько диагоналей в правильном 32-угольнике не параллельны ни одной из сторон этого 32-угольника?

Про натуральные числа $m$ и $n$ известно, что $3n^3=5m^2$. Найдите наименьшее возможное значение $m+n$.

Петя и Вася играют в игру. На доске написано число:\[11223334445555666677777.\]За один ход разрешается стереть любое количество одинаковых цифр. Выигрывает тот, кто сотрёт последнюю цифру. Петя ходит первым. Может ли он так ходить, чтобы гарантированно выиграть?

Из отрезков длин 3, 5, 7 и 9 составлен четырёхугольник, в который вписана окружность. К ней проведены две касательные: одна пересекает одну пару соседних сторон четырёхугольника, а другая — пару оставшихся. Найдите разность периметров треугольников, отсечённых от четырёхугольника этими касательными.

Про функцию $y=f(x)$ известно, что она определена и непрерывна на всей числовой прямой, нечётна и периодична с периодом 5, а также что $f(-1)=f(2)=-1$. Какое наименьшее число корней может иметь уравнение $f(x)=0$ на отрезке $[1755;2017]$?