Олимпиада «Ломоносов»

В круге радиуса 5 три разных хорды пересекаются в одной точке, причем две из них делятся этой точкой пополам. Какова при этом наименьшая возможная длина третьей хорды?

Найдите все четырёхзначные натуральные числа $n$, обладающие свойством, что \[ \text{первые несколько цифр числа } n^2 \text{ образуют число } n. \] Если таких чисел несколько, в ответ запишите наименьшее из них, если таких чисел нет, в ответ запишите 0.

Пусть $F$ — множество точек на плоскости, координаты которых являются натуральными числами, не превосходящими 10. Найдите количество прямоугольных треугольников, вершины которых принадлежат $F$, а каждый из катетов параллелен одной из координатных осей.

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $AM$ перпендикулярна биссектрисе $BL$. Найдите все возможные значения периметра треугольника $ABC$, если длина стороны $AB$ равна 7, а длины двух других сторон выражаются целыми числами.

Агриппина гоняет в школу на самокате, по тротуару — но на её пути есть два пешеходных перехода со светофорами. От дома до первого перехода расстояние 50 метров, ширина первого перехода равна 30 метров, потом до следующего перехода ей надо ехать 120 метров, второй переход шириной 10 метров — а там уже и школа.
Светофоры работают так:

• на первом переходе машинам даётся 30 секунд, пешеходам — 50 секунд,
• на втором переходе машинам даётся 50 секунд, пешеходам — 50 секунд,

а ещё известно, что ровно в момент выхода из дома первый светофор загорается красным (для пешеходов), а через 10 секунд загорится красным светофор на втором переходе.
Агриппина может гнать сколь угодно быстро, и намерена попасть в школу как можно скорее, но ускорения она не любит — девочка выезжает из дому с постоянной скоростью, которую и будет поддерживать на протяжении всего пути, не считаясь с правилами дорожного движения.
С какой наибольшей скоростью она сможет доехать до школы так, чтобы ей ни разу не пришлось проехать на красный, и чтобы светофор не переключился на красный, пока она ещё на зебре?

При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ \frac{1}{a}+\frac{2x}{a^2}-\frac{3x^2}{a^3}\leqslant 0 \] (относительно неизвестной $x$) представляет собой отрезок длиной 2026?

Дан треугольник $ABC$, вписанный в окружность с центром в точке $O$. Угол $\angle C=30^\circ$. Центр окружности симметрично отразили относительно прямой, содержащей сторону $AB$ — получилась точка $O'$. Точку, диаметрально противоположную точке $A$, симметрично отразили относительно прямой, содержащей сторону $BC$. Получилась точка $A''$. Оказалось, что точки $O'$, $B$, $A''$ лежат на одной прямой. Найдите угол $\angle B$.

Робот Казимир решил создать шедевр. На неограниченном клетчатом поле он закрашивает клетку чёрным, а потом поочерёдно красит ещё 8 квадратиков, каждый раз выбирая клетку под покраску наугад из соседних к уже закрашенным (соседство по диагонали не подходит, нужна как минимум одна общая сторона).
С какой вероятностью своим последним штрихом он превратит «кольцо» в чёрный квадрат (размерами 3 на 3)?