Олимпиада МЦНМО по теории вероятностей и статистике

В кабинете министров Анчурии 100 министров. Среди них есть жулики и честные министры. Известно, что из любых десяти министров, по крайней мере, один министр — жулик. Какое наименьшее число министров-жуликов может быть в кабинете?

Точка выходит из начала координат на прямой и делает $a$ шагов на единицу вправо, $b$ шагов на единицу влево в каком-то порядке, причём $a\gt b$. Размахом блуждания точки назовём разность между наибольшей и наименьшей координатами точки за всё время блуждания.
а) Найдите наибольший возможный размах блуждания.
б) Найдите наименьший возможный размах.
в) Сколько существует различных последовательностей движения точки, при которых размах блуждания будет наибольшим возможным?

Квадрат разбит на треугольники (см. рисунок). Сколько существует способов закрасить ровно треть квадрата? Маленькие треугольники нельзя красить частично.

Будем считать, что рождение девочки и мальчика равновероятны. Известно, что в некоторой семье двое детей.
а) Какова вероятность того, что из них один мальчик и одна девочка?
б) Дополнительно известно, что один из детей — мальчик. Какова теперь вероятность того, что в семье один мальчик и одна девочка?
в) Дополнительно известно, что мальчик родился в понедельник. Какова теперь вероятность того, что в семье один мальчик и одна девочка?

На рисунке показано платежное поручение на оплату электричества некоторой энергосбытовой компании.

Каждый месяц клиент передаёт компании показания трёхтарифного счётчика, установленного в квартире. Из показаний за текущий месяц вычитаются соответствующие показания за прошлый месяц, и получается фактический расход за месяц по каждой из трёх тарифных зон (пик, ночь, полупик). Затем расход по каждой зоне умножается на цену одного киловатт-часа в этой зоне. Складывая полученные суммы, клиент получает общую сумму оплаты за месяц. В данном примере клиент заплатит 660 р. 72 коп.
Компания тоже ведет учёт расхода и оплаты электроэнергии, пользуясь данными, полученными от клиента. Проблема состоит в том, что компания иногда путает полученные шесть чисел, переставляя их в произвольном порядке, правда, следит за тем, чтобы текущее показание оставалось больше, чем предыдущее. В результате расчёт компании может оказаться ошибочным. Если компания считает, что клиент должен больше, чем он заплатил, компания требует доплатить разность.
Пользуясь данными изображенной квитанции, найдите:
а) максимально возможную сумму доплаты за март 2013 года, которую компания потребует у клиента;
б) математическое ожидание разности между суммой, которую насчитает компания, и суммой, которую заплатил клиент.

Каждый день пёс Патрик сгрызает одну тапочку из имеющегося дома запаса. Строго с вероятностью 0,5 Патрик хочет сгрызть левую тапочку, и с вероятностью 0,5 — правую. Если желаемой тапочки нет, Патрик расстраивается. Сколько пар одинаковых тапочек нужно купить, чтобы с вероятностью не меньше, чем 0,8 Патрик не расстраивался целую неделю (7 дней)?

Найдите вероятность того, что орёл выпадет чётное число раз, в эксперименте, в котором:
а) симметричную монету бросают $n$ раз;
б) $n$ раз бросают монету, у которой вероятность выпадения орла при одном бросании равна $p$ ($0\lt p\lt 1$).

В Анчурии готовятся президентские выборы, в которых хочет победить президент Мирафлорес. Ровно половина многочисленных избирателей поддерживает Мирафлореса, а другая половина — Дика Малони. Мирафлорес тоже является избирателем. По закону он имеет право поделить всех избирателей на два избирательных округа по своему усмотрению. В каждом из округов голосование проводится следующим образом: каждый избиратель отмечает на бюллетене имя своего кандидата; все бюллетени помещаются в урну. Затем из урны достаётся один случайный бюллетень, и тот, чьё имя на нём отмечено, победит в этом округе. Кандидат побеждает на выборах, только если победит в обоих округах. Если победитель не выявился, назначается следующий тур голосования по тем же правилам. Как Мирафлорес должен поделить избирателей, чтобы максимизировать вероятность своей победы на первом туре?

В страшную грозу по верёвочной лестнице цепочкой поднимаются $n$ гномиков. Если вдруг случится удар грома, то от испуга каждый гномик, независимо от других, может упасть с вероятностью $p$ ($0\lt p\lt 1$). Если гномик падает, то он сшибает и всех гномиков, которые находятся ниже. Найдите:
а) Вероятность того, что упадёт ровно $k$ гномиков.
б) Математическое ожидание числа упавших гномиков.

Если симметричную монету бросили $n$ раз, и орёл выпал $m$ раз, то $\frac{m}{n}$ называется частотой выпадения орла. Число $\frac{m}{n}-0{,}5$ называется отклонением частоты от вероятности, а число $\left|\frac{m}{n}-0{,}5\right|$ называется абсолютным отклонением. Например, если монету бросили 5 раз, и два раза выпал орёл, то отклонение равно $0{,}4-0{,}5=-0{,}1$, а абсолютное отклонение равно $|-0{,}1|=0{,}1$. Заметим, что отклонение и абсолютное отклонение являются случайными величинами.
Эксперимент состоит из двух частей: сначала монету бросают 10 раз, а потом — 100 раз. В каком из этих случаев больше математическое ожидание абсолютного отклонения частоты выпадения орла от вероятности?

В Анчурии всего $K$ законов и $N$ министров. Вероятность того, что случайно взятый министр знает случайно выбранный закон, равна $p$. Однажды министры собрались на совет, чтобы написать Концепцию. Если хотя бы один министр знает закон, то этот закон будет учтён в Концепции, в противном случае этот закон в Концепции учтён не будет. Найдите:
а) Вероятность того, что ровно $M$ законов будут учтены в Концепции.
б) Математическое ожидание числа учтённых законов.

Вероятность рождения двойняшек в Швамбрании равна $p$, тройняшки в Швамбрании не рождаются.
а) Оцените вероятность того, что случайно встреченный на улице швамбранец — один из пары двойняшек?
б) В некоторой швамбранской семье трое детей. Какова вероятность того, что среди них есть пара двойняшек?
в) В школах швамбранских двойняшек обязательно зачисляют в один класс. Всего в Швамбрании $N$ первоклассников. Каково математическое ожидание числа пар двойняшек среди них?

На столе разложена колода игральных карт (например, в ряд). Поверх каждой карты положили карту другой колоды. Некоторые карты, возможно, совпали. Найдите:
а) математическое ожидание числа совпадений;
б) дисперсию числа совпадений.

Башня в замке короля Артура увенчана крышей, которая представляет собой треугольную пирамиду, у которой все плоские углы при вершине — прямые. Три ската крыши покрашены в разные цвета. Красный скат крыши наклонен к горизонтали под углом $\alpha$, а синий — под углом $\beta$. Найдите вероятность того, что дождевая капля, вертикально упавшая на крышу в случайном месте, упала на зеленый скат.

Если один человек тратит в очереди одну минуту на ожидание, будем говорить, что бесцельно затрачена одна человеко-минута. В очереди в банке стоит восемь человек, из них пятеро планируют простые операции, занимающие 1 минуту, а остальные планируют длительные операции, занимающие 5 минут. Найдите:
а) наименьшее и наибольшее возможное суммарное количество бесцельно затраченных человеко-минут;
б) математическое ожидание количества бесцельно затраченных человеко-минут, при условии, что клиенты встают в очередь в случайном порядке.

Вдоль дороги стоит 9 фонарей. Если перегорел один из них, а соседние светят, то дорожная служба не беспокоится. Но если перегорают два фонаря подряд, то дорожная служба сразу меняет все перегоревшие фонари. Каждый фонарь перегорает независимо от других.
а) Найдите вероятность того, что при очередной замене придется поменять ровно 4 фонаря.
б) Найдите математическое ожидание числа фонарей, которые придется поменять при очередной замене.