Олимпиада МЦНМО по теории вероятностей и статистике

В одной социальной сети проводился конкурс фотографий. На конкурс было представлено несколько фотографий, и каждый участник мог оценить каждую фотографию, поставив ей либо 0 (не нравится), либо 1 (не очень нравится), либо 2 (очень нравится).
Было объявлено две номинации: самая привлекательная фотография, которая набрала больше всего очков, и самая отвратительная фотография, которую больше всего участников оценили в 0 очков. Могло ли случиться так, что в обеих номинациях победила одна и та же фотография?

Как известно, друг и компаньон Робинзона Крузо получил имя Пятница по той причине, что встретились они в какую-то пятницу. Это было в январе, а вот в каком году — установить уже невозможно. Робинзон уверен лишь в том, что с равными шансами это могло случиться в любой год, начиная с 1668-го и заканчивая 1671-ым. Робинзон и Пятница свято чтили день своей встречи и торжественно отмечали его каждый год. Каким днём недели мог оказаться день одиннадцатой годовщины их встречи? С какой вероятностью?

На 9 карточках написаны цифры от 1 до 9 — по одной на каждой карточке. Из них выбрали три случайные карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что получившееся трёхзначное число делится на 3?

Аня хочет купить мороженое, которое стоит 19 рублей. В кармане у неё две монеты по 10 рублей, две монеты по 5 рублей и одна монета в 2 рубля. Аня не глядя вынимает из кармана три монеты. Найдите вероятность того, что вынутых монет хватит, чтобы заплатить за мороженое.

Однажды карманник Кирпич украл бумажник, в котором оказались четыре кредитные карты и записка с четырьмя пин-кодами к этим картам. Кирпич не знает, какой пин-код соответствует какой карте. Если три раза неправильно ввести пин-код к какой-то карте, то она заблокируется.
а) Покажите, что Кирпич сможет снять деньги с трёх карт, если будет действовать правильно.
б) Какова вероятность того, что Кирпич сможет снять деньги со всех четырёх карт?

Машина привезла 4 мешка цемента. Они лежат в кузове стопкой. За раз рабочий может перетащить один мешок из машины к калитке, либо от калитки в сарай. Рабочий может таскать мешки в любом порядке, каждый раз он берёт верхний мешок, несёт его куда надо и кладёт тоже наверх стопки (если там уже есть мешки). Если есть выбор, нести мешок из машины или от калитки, то рабочий выбирает каждый из этих вариантов с вероятностью 0,5. В итоге все мешки оказались в сарае.
а) Какова вероятность того, что в сарае мешки окажутся в обратном порядке по сравнению с тем, как они лежали в машине?
б) Какова вероятность того, что в сарае самым нижним окажется мешок, который в машине был вторым снизу?

Пусть натуральные числа $k$ и $n$ взаимно просты, причём $n\geqslant 5$ и $k\lt n/2$. Правильной $(n;k)$-звездой назовём замкнутую ломаную, которая получится, если в правильном $n$-угольнике каждые $k$ последовательных сторон заменить диагональю с теми же концевыми вершинами. Для примера на рисунке показана $(5;2)$-звезда. Эта звезда имеет 5 точек самопересечения — это жирные точки на рисунке. Сколько самопересечений у звезды $(2018;25)$?

В билете лотереи «6 из 45» всего 45 натуральных чисел. Из этих 45 чисел участник лотереи должен выбрать комбинацию, в которой ровно 6 чисел. Два участника независимо друг от друга выбирают свои комбинации. Какова вероятность того, что в их комбинациях окажется ровно одно общее число?

На стене висит мишень, состоящая из пяти зон: центральный круг (яблочко) и четыре разноцветных кольца (см. рисунок). Ширина каждого кольца равна радиусу яблочка. Известно, что число очков за попадание в каждую зону обратно пропорционально вероятности попасть в эту зону и что яблочко стоит 315 очков. Сколько очков стоит попадание в синюю (предпоследнюю) зону?

Артиллерийская система ракетного крейсера производит выстрел по цели. Если цель не поражена, система автоматически делает второй выстрел по той же цели. Третий выстрел по этой цели не производится. На борту крейсера 10 ракет. На учениях он выполняет стрельбы по нескольким целям в одинаковых условиях. Вероятность попадания при каждом одном выстреле равна $p$.
а) Если целей всего пять, какова вероятность того, что после стрельбы останется ровно три неиспользованных ракеты?
б) Найдите математическое ожидание числа поражённых целей, если всего целей девять.

В самолёт было загружено 200 чемоданов. После полёта пассажиры встречают свои чемоданы на ленте транспортёра. Как только транспортёр заработал, грузчик начал класть на него чемоданы по одному через каждые две секунды в случайном порядке (как привезли). Среди пассажиров группа бизнесменов, которые ждут 10 своих чемоданов.
а) Найдите вероятность того, что после запуска транспортёра бизнесменам придется ждать свой последний чемодан ровно две минуты.
б) Найдите математическое ожидание случайной величины «время, которое бизнесменам придётся ожидать последний чемодан».

Каждое утро Рассеянный Учёный идёт на работу, а вечером — домой. Всего у Учёного два зонтика, и Учёный берёт один из них с собой только в одном из двух случаев: либо на улице дождь, либо там, куда он идёт, зонтика нет. Через некоторое время Учёный подсчитал (а мы помним, что Рассеянный Учёный всё подсчитывает), что он берёт с собой зонтик в 20 % случаев. Найдите вероятность дождя.

В Анчурии ежегодно проходит Конгресс Городов, на который приезжают делегации всех пяти городов. В делегации каждого города есть члены правящей Анчурийской Партии Прогресса (APP), а также члены оппозиционной Партии Развития Анчурии (ADP). В разных делегациях количественное соотношение политических сил разное, но в каждой делегации членов APP большинство.
Конгресс проходит в два дня, и на каждый день избирается Председатель Конгресса. Процедура выборов такова: каждый вечер накануне заседания честным жребием выбирается город, а затем среди делегатов из выбранного города честным жребием выбирается Председатель на завтра.
Однажды президент Анчурии предложил новую процедуру. 1. За неделю до Конгресса честным жребием выбирается город. 2. Председатель на каждый день выбирается честным жребием из делегатов выбранного города.
В частном разговоре с премьер-министром президент объяснил, что новая процедура увеличит вероятность того, что оба дня Председателями будут члены лояльной APP. Премьер-министр был против изменений и возразил, что из-за новой процедуры вырастет вероятность того, что оба дня Председателями окажутся члены ненавистной ADP.
Кто прав — президент или премьер-министр?

Митя, Ваня и Дима бросили монету по $2n$ раз. Известно, что у Мити и Вани орлов случилось поровну. Что более вероятно: событие $A$ «у Димы выпало ровно $n$ орлов» или событие $B$ «у Мити выпало ровно $n$ орлов»? Если события не равновероятны, то во сколько раз одно из этих событий вероятнее другого?

По очень длинному узкому шоссе, на котором невозможен обгон, в случайном порядке едут $n$ автомобилей, каждый со своей излюбленной скоростью. Если быстрая машина догоняет медленную, то быстрой приходится замедлиться и ехать с той же скоростью, что и медленная. Таким образом, машины сбиваются в группы. Найдите математическое ожидание числа «одиноких» машин, то есть групп, состоящих из одной машины.

В книге Щепана Еленьского имеется небольшой очерк о чемоданах.
В универмаг прислали 10 чемоданов, а в конверте отдельно 10 ключей, причём предупредили, что каждый ключ открывает только 1 чемодан и что к каждому чемодану можно подобрать подходящий ключ.
Работник универмага, который получал эти чемоданы, вздохнул:
— Сколько возни с подбором ключей! Я знаю, какими упрямыми бывают неодушевлённые предметы! Начнёшь подбирать ключ к первому чемодану, и обязательно окажется, что подойдёт только десятый ключ. Десять раз перепробуешь ключи из-за одного чемодана, а из-за десяти — целых сто раз!
Не будем цитировать Еленьского дальше, а кратко перескажем суть. Продавщица сказала, что число попыток не больше $10+9+8+\ldots+2+1=55$, другой сотрудник предложил ещё уменьшить число попыток, поскольку если ключ не подошёл к 9 чемоданам, то уж к десятому он точно подойдёт. Значит, число попыток не больше $9+8+\ldots+1=45$. Кроме того, он заявил, что так произойдёт только в самом неудачном случае — тогда, когда каждый раз ключ будет подходить к последнему чемодану. Нужно рассчитывать, что в реальности число попыток будет равно примерно половине наибольшего возможного числа попыток, то есть 22,5.
Игорь Федорович Акулич из Минска задумался, по какой такой причине среднее число попыток равно половине числа 45? Ведь последняя попытка не нужна, только если ключ не подошёл ни к одному чемодану, кроме последнего, а во всех других случаях последняя удачная попытка тоже имеет место. Акулич предположил, что утверждение про 22,5 попыток голословное, и на самом деле всё немного не так.
Задача. Найдите математическое ожидание числа попыток (считаются все попытки открыть чемоданы — неудачные и удачные, в том случае, когда нет ясности).