МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить уравнение \[ \sqrt{17-7\sin2x}=3\cos x-5\sin x. \]

На координатной плоскости даны точки $A(2;-3)$ и $B(4;0)$. При каких значениях параметра $p$, $p\gt -5$, ближайшая к графику функции $y=\sqrt{x^3}+p$ точка прямой $AB$ лежит на отрезке $AB$?

Решить неравенство \[ \log_8\left(\frac13-x\right)\log_{\left|2x+\frac13\right|}\left(\frac13-x\right)\gt \log_2\frac{\frac13-x}{\sqrt[3]{\left(2x+\frac13\right)^2}}. \]

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $\pi-\arcsin(8/17)$, а длина стороны $BC$ равна $8$. На продолжении $CB$ за точку $B$ взята точка $D$ так, что $BD=1$. Найти радиус окружности, проходящей через вершину $A$, касающейся прямой $BC$ в точке $D$ и касающейся окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Сфера, касающаяся нижнего основания цилиндра, имеет единственную общую точку с окружностью его верхнего основания и делит ось цилиндра в отношении $1:6:2$, считая от центра одного из оснований. Найти объем цилиндра, если известно, что сфера касается двух его образующих, находящихся на расстоянии $8$ друг от друга.