МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Найти решения $(x,y)$ системы уравнений \[\begin{cases}\log_3(5y-x-2)-\log_9(x-y)^2=1,\\ \log_3\left(1-\dfrac{2}{y}-4x\right)-\log_9 x^2=1,\end{cases}\] которые удовлетворяют неравенству $x-y\lt 0$.

Решить уравнение \[2+\sqrt{3}\sin 2x-|\cos 2x|=4\sin^2\dfrac{x}{2}.\]

Решить неравенство \[\dfrac{\sqrt{3x^3-22x^2+40x}}{x-4}\geqslant 3x-10.\]

Медиана $AE$ и биссектриса $CD$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) пересекаются в точке $M$. Прямая, проходящая через $M$ параллельно $AC$, пересекает $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Найти $MQ$ и радиус окружности, описанной около треугольника $PQB$, если $AC=4$, $\angle ACB=\mathrm{arctg}\,(2\sqrt{2})$.

Дана система неравенств \[\begin{cases}|x|+|y|\leqslant 2,\\ x^2+y^2\geqslant 4(x+y-1),\\ (y-3x-2)(3y-x+2)\leqslant 0.\end{cases}\] Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.

Сторона основания $ABCD$ правильной пирамиды $SABCD$ равна $2$, высота пирамиды, опущенная на основание, равна $2\sqrt{2}$. На ребрах $SA$ и $SD$ расположены точки $E$ и $F$ так, что $AE=2ES$, $SF=5DF$. Через точки $E$ и $F$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная $CD$. Найти:
1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды плоскостью $\alpha$;
2) радиус сферы с центром в точке $A$, касающейся плоскости $\alpha$;
3) угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью $ABC$.