МФТИ, письменный вступительный экзамен по математике

Решить уравнение \[\dfrac{\mathrm{ctg}\,x\,\mathrm{ctg}\,2x}{\mathrm{ctg}\,2x-\mathrm{ctg}\,x}=\dfrac{\mathrm{ctg}\,4x\,\mathrm{ctg}\,3x}{\mathrm{ctg}\,4x-\mathrm{ctg}\,3x}.\]

Найти действительные решения системы уравнений \[\begin{cases} 2xy+\dfrac{3}{z}+3=0,\\ yz+\dfrac{4}{x}-2=0,\\ xz+\dfrac{2}{y}+2=0.\end{cases}\]

Решить неравенство \[\sqrt{\log_{\frac{x+3|x|}{2}}\left(4x^2+3\right)+\dfrac{1}{\sqrt{|x|}}}\leqslant\log_{\frac{x+3|x|}{2}}\left(4x^2+3\right).\]

В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ прямой, $AB=21$. Биссектриса угла $BAC$ и медиана $BP$ пересекаются в точке $O$. Окружность радиуса 3 с центром $O$ пересекает сторону $AB$ в точках $K$ и $L$ ($K$ лежит между $A$ и $L$), пересекает сторону $AC$ в точках $M$ и $N$ ($M$ лежит между $A$ и $N$) и касается стороны $BC$ в точке $T$. Найти $AC$, угол $KON$, $AM$.

Найти все значения параметра $b$, при которых для любого значения параметра $a$ существует тройка действительных чисел $(x,y,z)$, удовлетворяющая системе уравнений \[\begin{cases} ax+y=z+b,\\ 4x+ay=z^2.\end{cases}\]

В пирамиде $SABC$ каждый из углов $ASB$ и $ASC$ равен $\arccos\dfrac{1}{\sqrt5}$, угол $BSC$ прямой, ребро $SB$ равно $a$. Центр сферы, вписанной в пирамиду $SABC$, лежит на высоте $SD$. Найти $SA$, $SD$ и радиус сферы, вписанной в пирамиду $SABC$.