Московская математическая олимпиада

Последовательность $(a_n)$ такова, что $a_n=n^2$ при $1\leqslant n\leqslant 5$ и при всех натуральных $n$ выполнено равенство $a_{n+5}+a_{n+1}=a_{n+4}+a_n$. Найдите $a_{2015}$.

В прошлом году Миша купил смартфон, который стоил целое четырёхзначное число рублей. Зайдя в магазин в этом году, он заметил, что цена смартфона выросла на $20\%$ и при этом состоит из тех же цифр, но в обратном порядке. Какую сумму Миша потратил на смартфон?

На основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взяли произвольную точку $X$, а на боковых сторонах — точки $P$ и $Q$ так, что $XPBQ$ — параллелограмм. Докажите, что точка $Y$, симметричная точке $X$ относительно $PQ$, лежит на описанной окружности треугольника $ABC$.

Единичный квадрат разрезан на $n$ треугольников. Докажите, что одним из треугольников можно накрыть квадрат со стороной $1/n$.

Докажите, что в таблице $8\times8$ нельзя расставить натуральные числа от $1$ до $64$ (каждое по одному разу) так, чтобы в ней для любого квадрата $2\times2$ вида \[\begin{array}{|c|c|}\hline a&b\\\hline c&d\\\hline\end{array}\] было выполнено равенство $|ad-bc|=1$.

Все грани шестигранника — четырёхугольники, а в каждой его вершине сходятся по три ребра. Верно ли, что если для него существуют вписанная и описанная сферы, центры которых совпадают, то этот шестигранник — куб?