Московская математическая олимпиада

Найдите наименьшее натуральное число, десятичная запись квадрата которого оканчивается на 2016.

Имеются чашечные весы, которые находятся в равновесии, если разность масс на их чашах не превосходит 1 г, а также гири массами $\ln 3$, $\ln 4$, $\ldots$, $\ln 79$ г. Можно ли разложить все эти гири на чаши весов так, чтобы весы находились в равновесии?

Можно ли отметить $k$ вершин правильного 14-угольника так, что каждый четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках, имеющий две параллельные стороны, является прямоугольником, если: а) $k=6$; б) $k\geqslant 7$?

За некоторое время мальчик проехал на велосипеде целое число раз по периметру квадратной школы в одном направлении с постоянной по величине скоростью 10 км/ч. В это же время по периметру школы прогуливался его папа со скоростью 5 км/ч, при этом он мог менять направление движения. Папа видел мальчика в те и только те моменты, когда они находились на одной стороне школы. Мог ли папа видеть мальчика больше половины указанного времени?

Про приведённый многочлен $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$ с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном $m\geqslant 2$ многочлен $\underbrace{P(P(\ldots P}_{m\text{ раз}}(x)\ldots))$ имеет действительные корни, причём только положительные. Обязательно ли сам многочлен $P(x)$ имеет действительные корни, причём только положительные?