Московская математическая олимпиада

Пусть $f(x)=x^2+3x+2$. Вычислите \[ \left(1-\dfrac{2}{f(1)}\right)\left(1-\dfrac{2}{f(2)}\right)\left(1-\dfrac{2}{f(3)}\right)\ldots\left(1-\dfrac{2}{f(2019)}\right). \]

На экране компьютера напечатано натуральное число, делящееся на 7, а курсор находится в промежутке между некоторыми двумя его соседними цифрами. Докажите, что существует такая цифра, что, если её впечатать в этот промежуток любое число раз, то все получившиеся числа также будут делиться на 7.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA'$ и $BB'$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажите, что расстояние от точки $A'$ до прямой $BO$ равно расстоянию от точки $B'$ до прямой $AO$.

Докажите, что для любых различных натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо неравенство \[ \left|\sqrt[n]{m}-\sqrt[m]{n}\right|\gt \dfrac{1}{mn}. \]

Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1. Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?

Рассмотрим на клетчатой плоскости такие ломаные с началом в точке $(0,0)$ и вершинами в точках с целыми координатами, что каждое очередное звено идёт по сторонам клеток либо вверх, либо вправо. Каждой такой ломаной соответствует червяк — фигура, состоящая из клеток плоскости, имеющих хотя бы одну общую точку с этой ломаной. Докажите, что червяков, которых можно разбить на двуклеточные доминошки ровно $n\gt 2$ различными способами, столько же, сколько натуральных чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $n$. (Червяки разные, если состоят из разных наборов клеток.)