Московская олимпиада школьников по вероятности и статистике

Была у братьев шоколадка, разделенная на 36 квадратиков прямолинейными бороздками (см. рисунок). Старший брат сломал шоколадку по случайной прямой и поступил по-братски: съел тот кусок, который оказался не больше другого. Потом пришёл младший брат, сломал оставшуюся часть тоже по случайной прямой и съел кусок, который оказался не меньше другого. Определите, кто из братьев съел в среднем больше — сравните математические ожидания количества квадратиков, доставшихся братьям.

Группа, в которой 27 студентов, сдает письменный зачёт по решению олимпиадных задач. Преподаватель заготовил зачётную работу в 3 вариантах и распределяет варианты случайным образом с единственным условием: количество тех, кто получил разные варианты, должно отличаться не больше чем на единицу. Перед зачётом между студентами Сергеем и Алексеем состоялся следующий диалог.
С: Вероятность того, что у нас с тобой окажется один и тот же вариант, равна $1/3$.
А: Если сегодня кто-то один не придёт на зачёт, то она окажется меньше, чем была бы, если бы пришли все.
С: Если сегодня не придут двое, то она окажется меньше, чем была бы, если бы не пришёл кто-то один.
а) Верно ли первое утверждение Сергея?
б) Верно ли утверждение Алексея?
в) Верно ли второе утверждение Сергея?

Есть два одинаковых карандашных грифеля длиной по 10 см. Каждый грифель ломается в одном случайном месте. Какова вероятность того, что найдутся два обломка, сумма длин которых не меньше 18 см?

Имеются два несимметричных игральных кубика. Известно, что: - вероятность выпадения 1 очка на первом кубике равна 0,14; - вероятность выпадения 1 очка на втором кубике равна 0,35; - при всех $n$ от 2 до 6 отношение вероятности выпадения $n$ очков к вероятности выпадения $n-1$ очков на первом кубике в точности в $\frac{n}{n-1}$ раз больше, чем это же отношение для второго кубика.
Найдите математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании второго кубика.

Беспроигрышная лотерея устроена по следующим правилам. Игрок покупает лотерейный билет за $n$ рублей, причём цену он назначает сам ($n$ — целое, большее 1). Затем генератор случайных чисел выбирает случайное натуральное число из отрезка от 1 до $n$ включительно. Выигрыш игрока равен сумме делителей выбранного числа в рублях. Может ли игрок назначить цену лотерейного билета так, чтобы математическое ожидание выигрыша было больше его затрат?

В круг встали 10 матросов, у каждого в руке поднятый флажок. Каждую секунду один случайный матрос, независимо от предыдущих событий, опускает свой флажок (если он был поднят) или поднимает (если флажок был опущен). Докажите, что событие «через некоторое время все флажки снова будут подняты» имеет вероятность 1.