Объединённая межвузовская математическая олимпиада (ОММО)

Найдите координаты центра и радиус окружности, описанной около четырёхугольника на рисунке, если сторона клетки равна $1$.

Докажите, что $6255^3-5995^3$ делится на $13$.

Пролетая на драконе, Гарри Поттер увидел крысу Рона, бегущую в противоположную сторону. Пролетев ещё полминуты не меняя направления, Гарри спрыгнул с дракона и отправился в погоню. Известно, что скорость Гарри в $5$ раз меньше скорости дракона. Во сколько раз скорость Гарри больше скорости крысы, если он догнал крысу через $4{,}5$ минуты после их встречи?

Дана трапеция с основаниями $1$ и $4$ и площадью $S$. Найдите площадь треугольника, образованного диагоналями и меньшим основанием трапеции.

Пусть $f(x)=\dfrac{x}{3}+2$. Найдите значение функции \[ \underbrace{f(\ldots f(f}_{2009}(x))\ldots) \] в точке $x=4$.

Третий, четвёртый, седьмой и последний члены непостоянной арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию. Найдите число членов этой арифметической прогрессии.

Радиус вписанной в треугольник окружности равен $1$, а длины высот выражаются натуральными числами. Найдите стороны треугольника.

Найдите сумму всех корней уравнения \[ 2\cos3x+8|\sin x|-7=0, \] принадлежащих отрезку $\left[-\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{3\pi}{4}\right]$.

Тетраэдр с ребром $1$ повернули на $90^\circ$ относительно прямой, соединяющей середины противоположных рёбер. Найдите объём общей части нового и исходного тетраэдров.

Пусть $x$ и $y$ удовлетворяют системе \[ \begin{cases} y-x\leqslant5,\\ y+4x\leqslant-5,\\ 3y+2x\geqslant-5. \end{cases} \] Найдите все значения, которые может принимать функция $x^2+y^2$.