Объединённая межвузовская математическая олимпиада (ОММО)

Сумма первых тринадцати членов некоторой арифметической прогрессии составляет $50\%$ от суммы последних тринадцати членов этой прогрессии. Сумма всех членов этой прогрессии без первых трёх членов относится к сумме всех членов без последних трёх как $6:5$. Найдите количество членов этой прогрессии.

На острове каждый житель либо рыцарь (всегда говорит правду), либо лжец (всегда лжёт), либо обычный человек (может и говорить правду, и лгать). Жители этого острова А и В сказали следующее. А: «B — рыцарь». В: «А — не рыцарь». Докажите, что по крайней мере один из них говорит правду, но это не рыцарь.

Если из четырёхзначного числа $X$ вычесть сумму его цифр, то получится натуральное число $N=K^2$, причём $K$ — натуральное число, дающее остаток $5$ при делении на $20$ и остаток $3$ при делении на $21$. Найдите число $N$.

Основания $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны $155$ и $13$ соответственно, а её диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BC}$.

Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 5x^2-14xy+10y^2=17,\\ 4x^2-10xy+6y^2=8. \end{cases} \]

Для $x=\dfrac{\pi}{2n}$ найдите значение суммы \[ \sin^2x+\sin^22x+\ldots+\sin^2nx. \]

Прямая $c$ задаётся уравнением $y=2x$. Точки $A$ и $B$ имеют координаты $A(2,2)$ и $B(6,2)$. На прямой $c$ найдите точку $C$, из которой отрезок $AB$ виден под наибольшим углом.

При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ \ln(x-2a)-3(x-2a)^2+2a=0 \] имеет единственный корень?

В турнире по волейболу принимаются ставки на четыре команды. На первую команду ставки принимаются в соотношении $1:2$ (при выигрыше первой команды игрок получает сумму, которую он поставил на эту команду, и плюс двукратную сумму, т. е. получает в три раза больше поставленных денег, а при проигрыше деньги не возвращаются). На вторую команду ставки принимаются в соотношении $1:4$, на третью — $1:5$, на четвёртую — $1:6$. Можно ли так поставить, чтобы выиграть при любом исходе турнира?

В конус вписан цилиндр объёма $21$. Плоскость верхнего основания этого цилиндра отсекает от исходного конуса усечённый конус объёмом $91$. Найдите объём исходного конуса.