Объединённая межвузовская математическая олимпиада (ОММО)

В бесконечной числовой последовательности $x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots$ не все члены равны между собой. Для всех $n\geqslant2$ выполняется равенство \[ x_n=\frac{x_{n-1}+x_n+x_{n+1}}{3}. \] Найдите отношение $\dfrac{x_{2012}-x_{1006}}{x_{1006}-x_{503}}$.

Даны $2014$ положительных чисел. Известно, что произведение любых тридцати пяти из них меньше единицы. Докажите, что произведение всех данных чисел меньше единицы.

Натуральное $59$-значное число $A$ записывается только цифрами $3$, $4$ и $5$. При этом пятёрок на $8$ больше, чем троек. Найдите остаток от деления числа $A$ на $9$.

Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$. Точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DE$ соответственно, точки $H$ и $K$ — середины $MP$ и $NQ$ соответственно. Найдите длину отрезка $HK$, если $AE=7$.

Найдите все решения уравнения \[ \bigl(y(x-1)\bigr)^2+(x-1)^2+y^2+1-4y|x-1|=0. \]

Найдите все периодические функции $y=f(x)$, удовлетворяющие уравнению \[ f(x)-0{,}5f(x-\pi)=\sin x. \]

Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а боковые стороны образуют угол $30^\circ$. Основания имеют длины $6$ и $2$. Найдите высоту трапеции.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\bigl|\ln|x|\bigr|=ax$ имеет три решения.

В городе $200$ жителей. Часть из них — рыцари, которые всегда говорят правду, остальные — лжецы, которые всегда лгут. Каждый горожанин живёт в одном из четырёх кварталов (А, Б, В и Г). Каждому задали четыре вопроса: «Вы живёте в квартале А?», «Вы живёте в квартале Б?», «Вы живёте в квартале В?», «Вы живёте в квартале Г?». На первый вопрос утвердительно ответили $105$ жителей, на второй — $45$, на третий — $85$ и на четвёртый — $65$. В каком квартале лжецов живёт больше, чем рыцарей, и на сколько?

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с рёбрами $AB=3$, $AD=4$ и $AA_1=5$ проведены два сечения — плоскостью, проходящей через диагональ $A_1C$, и плоскостью, проходящей через диагональ $B_1D$. Найдите наибольшее возможное значение суммы площадей поверхностей многогранников, на которые эти сечения разбивают данный параллелепипед.