Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Решить неравенство: $3+2\cdot4^{\log_x7}-2^{\log_{\sqrt{x}}49}\geqslant0$.

Найти все пары вещественных чисел $(x,y)$, удовлетворяющих системе \[\begin{cases}\left(2-\sqrt{3}\right)^x=3^y+4^y,\\ \sqrt{-x^2-3xy-y^2}=2y+\dfrac{x}{2}\,.\end{cases}\]

При каких значениях параметра $a$ площадь фигуры, заданной на плоскости $(x,y)$ системой \[\begin{cases}x^2+y^2-2ax-ay\leqslant1-\dfrac{5a^2}{4},\\ y^2+4xy+4x^2\leqslant25a^2,\end{cases}\] максимальна?

Найти наибольшее значение выражения \[2\arccos(\sin(x-2y-1))+x-y+2\] при $0\leqslant x\leqslant\pi$, $0\leqslant y\leqslant\frac{\pi}{2}$.

Гора имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды с основанием $ABCD$ и вершиной $S$, причём длина ребра основания равна 13 км, а боковые грани наклонены к основанию под углом $\beta$ ($\cos\beta=0{,}6$). Скорость туриста на ровной поверхности составляет 4 км/ч, а при подъёме или спуске под углом $\alpha$ к горизонту равна $4\cos^2\alpha$ км/ч. Может ли турист, находящийся в точке $A$, успеть на автобус, отходящий ровно через 6 часов 15 минут из точки $C$, если в середине пути он обязательно делает 9-минутную остановку?

В один прекрасный день Цветочный город был взбудоражен известием: кто-то выпил все запасы арбузного сока! В ходе разбирательства выяснилось, что виновен либо Пончик, либо Сиропчик (но не оба), но коротышки никак не могли решить, кто именно из двоих.
— Сок выпил Пончик, — заявила Кнопочка.
— А однажды он целую ракету украл, — поддержала её Звёздочка.
— Сиропчик никогда ничего не крал, — сказал Растеряйка.
— А ты, Растеряйка, каждый день теряешь вещи! — заявила Мушка.
— Звёздочка и Растеряйка говорят правду, — сказал Гунька.
— Звёздочка и Мушка говорят правду, — утверждал Торопыжка.
— Либо Растеряйка, либо Мушка говорят правду, а может они оба правы, — высказал своё мнение Авоська.
— Либо Гунька, либо Торопыжка, либо они оба говорят правду, — сказал Небоська.
— Звёздочка и Авоська говорят правду, — считал Пачкуля Пёстренький.
— Небоська говорит правду, а Пёстренький врёт, — утверждал Незнайка.
— Я ничего не могу понять! — закричал Цветик. — Во всех этих словах нет никакого смысла!
— И всё-таки кое-какие выводы из этих слов можно сделать, — возразил Знайка. — Я точно знаю, что либо и Незнайка, и Кнопочка правы, либо оба ошибаются.
Кто же выпил арбузный сок, если известно, что Знайка всегда говорит правду и никогда не ошибается?