Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Выясните, какое из чисел больше: $\log_{2012}2013$ или $\log_{2013}2014$.

Несколько чисел образуют арифметическую прогрессию, причём их сумма равна 63, а первый член в полтора раза больше разности прогрессии. Если все члены прогрессии уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы первый член прогрессии был равен разности прогрессии, то сумма всех чисел уменьшится не более, чем на 8, но не менее, чем на 7. Определите, какой может быть разность этой прогрессии.

Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством \[\sqrt{\arcsin x}\leqslant\sqrt{\arccos y}\,.\]

Кратчайшее расстояние от вершины $B$ треугольника $ABC$ до точек противолежащей стороны равно 12. Найдите стороны $AB$ и $BC$ этого треугольника, если $\sin\angle C=\sqrt{3}/2$ и $AC=5$.

Найти все значения $a$, при каждом из которых система \[\begin{cases}|y|+|y-x|\leqslant a-|x-1|,\\ (y-4)(y+3)\geqslant(4-x)(3+x)\end{cases}\] имеет ровно два решения.