Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»
10–11 классы, заключительный этап, 2013, вариант 2
5 задач
Задача 1
Выясните, какое из чисел больше: \[\frac{\lg2013}{2\lg2}\quad\text{или}\quad2\lg\frac{2013}{2}\,.\]
Ответ:
Решение:
Задача 2
Найдите все пары натуральных чисел $x$, $y$, удовлетворяющие уравнению \[6x^2y+2x^2+3xy+x-9y=2016.\]
Ответ:
Решение:
Задача 3
Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $ACB$, если $AB:OC=2$.
Ответ:
Решение:
Задача 4
Определите, сколько корней на промежутке $[-\pi;\pi]$ имеет уравнение \[\frac{2\cos4x+1}{2\cos x-\sqrt{3}}=\frac{2\sin4x-\sqrt{3}}{2\sin x-1}\,,\] и найдите эти корни.
Ответ:
Решение:
Задача 5
Пять рёбер тетраэдра имеют длины 2, 4, 5, 9 и 13. Определите, может ли при этом длина шестого ребра:
а) равняться 11;
б) равняться 11,1.
а) равняться 11;
б) равняться 11,1.
Ответ:
Решение: