Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

В периодической десятичной дроби $0{,}242424\ldots$ первую цифру после запятой заменили на 4. Во сколько раз полученное число больше исходного?

Найдите все значения $y$, при каждом из которых ни одно значение $x$, удовлетворяющее неравенству \[ \log_2(|x|+|y|)\leqslant 2, \] не удовлетворяет неравенству \[ \log_{\frac12}(|x|+|y+4|)\geqslant -2. \]

Окружность радиуса 1 проходит через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB=\sqrt3$, $MK=1$, а центр окружности находится внутри треугольника $ABC$ на расстоянии 5 от точки $C$.

Определите минимальное значение величины $|x+y|$ при условии, что числа $x$ и $y$ удовлетворяют соотношению \[ 5\cos(x+4y)-3\cos(x-4y)-4\sin(x-4y)=10. \]

Одно основание правильной $n$-угольной призмы ($n\geqslant 3$) имеет $n$ общих точек со сферой радиуса 3; другое основание имеет с этой сферой одну общую точку. Какие значения может принимать объём призмы?