Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Решите уравнение \[ \left(\arcsin\frac35-\arccos\frac45\right)\cdot x+\pi=2\operatorname{arctg}3+\operatorname{arctg}\frac34. \]

Однажды два друга вложили деньги в общее дело: каждый вложил свою сумму, а вместе — 1 млн руб. За ночь один из них вложил в то же дело дополнительную сумму. Сколько всего денег он вложил в итоге, если его новая доля в общем деле оказалась в 7 раз больше прежней, тогда как доля другого — в 3 раза меньше прежней?

Решите неравенство \[ \frac13\operatorname{tg}^2x+3\operatorname{ctg}^2x\leqslant 2\cos^3 3x. \]

Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $D$, что $\angle ABD=\angle CBD=40^\circ$, $\angle ACD=20^\circ$, $\angle CAD=30^\circ$. Найдите:
а) углы $BAD$ и $BCD$;
б) расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $BCD$, если $BC=3$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[ a\cdot4^{\frac1x-1}+(a-1)\cdot2^{\frac1x}-a^3+3a-2=0 \] не имеет корней.