Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Решите систему \[ \begin{cases} \operatorname{tg}x+\operatorname{tg}\dfrac y2=\dfrac{4}{\sqrt3},\\ \operatorname{ctg}x+\operatorname{ctg}\dfrac y2=\dfrac{4}{\sqrt3}. \end{cases} \]

Решите неравенство \[ \sqrt{4x+1-12\sqrt{x-2}}+\sqrt{4x+8-16\sqrt{x-2}}\leqslant\log_{1/4}\left(x-\frac{17}{4}\right). \]

Две смежные боковые грани пирамиды, в основании которой лежит квадрат, перпендикулярны плоскости основания. Двугранный угол между двумя другими боковыми гранями равен $\frac{2\pi}{3}$. Найдите отношение высоты пирамиды к стороне основания.

Найдите все тройки натуральных чисел $(m,n,k)$ такие, что \[ m^3+n^3=k!+32. \]

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[ a^2\left(x^2+1\right)^3+\left(x^3+1\right)^2=12ax^3 \] имеет единственное решение.